[论文解读] A proof that a word of length n has less than 1.5n distinct squares

Adrien Thierry|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2020

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明一个长度为 $ n $ 的词中包含的互异平方数少于 $ 1.5n $ 个，通过针对 FS 双平方（即在相同位置结束的两个平方）的精细组合分析，改进了以往的界。作者引入并分析了 $ \alpha $、$ \beta $、$ \epsilon $ 和 $ \eta $-伴侣关系，并利用中断核心的摊销计数方法，建立了紧致的 $ \frac{3}{2}n $ 界，推动了长久以来的猜想：即互异平方数的最大数量小于 $ n $。

ABSTRACT

We are interested in the maximal number of distinct squares in a word. This problem was introduced by Fraenkel and Simpson, who presented a bound of 2n for a word of length n, and conjectured that the bound was less than n. Being that the problem is on repetitions, their solution relies on Fine and Wilf's Periodicity lemma. Ilie then refined their result and presented a bound of 2n-O(log n). Lam used an induction to get a bound of 95n/48. Deza, Franek and Thierry achieved a bound of 11n/6 through a combinatorial approach. Using the properties of the core of the interrupt, presented by Thierry, we refined here the combinatorial structures exhibited by Deza, Franek and Thierry to offer a bound of 3n/2.

研究动机与目标

• 建立长度为 $ n $ 的词中互异平方数的更紧致上界，改进先前结果。
• 通过证明 $ \frac{3}{2}n $ 的界，解决 Fraenkel 与 Simpson 长久以来的猜想，即互异平方数的数量小于 $ n $。
• 利用组合工具与伴侣分类法，分析 FS 双平方（即在相同位置结束的平方对）的结构约束。
• 引入并运用中断核心的概念，重新定义并摊销 $ \epsilon $-伴侣关系，以增强归纳论证。
• 对 FS 双平方之间的关系提供完整且详尽的分类，确保该界既紧致又具可推广性。

提出的方法

• 使用 FS 双平方（即在相同位置结束的两个不同平方）的概念，分析词中平方的多重性。
• 引入四种伴侣类型（$ \alpha $、$ \beta $、$ \epsilon $、$ \eta $）以对重叠平方对进行分类并界定其数量。
• 以 Fine 和 Wilf 的周期性引理以及 Crochemore 与 Rytter 的三平方引理作为周期性推理的基础工具。
• 采用基于中断核心的摊销计数策略，取代早期的反演因子，以更有效地控制 $ \epsilon $-伴侣关系。
• 发展一种仅依赖于词的后缀 $ u $ 和 $ v $ 的递归归纳论证，而不依赖于其间隔，从而保持紧致界。
• 利用 $ \beta $-伴侣的结构约束限制可能的 $ \epsilon $-伴侣数量，从而实现对平方多重性的更紧密控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 长度为 $ n $ 的词中最多可能出现多少个互异平方数？
• RQ2 能否将互异平方数的界改进至 $ 2n $ 以下，若能，改进幅度是多少？
• RQ3 FS 双平方（尤其是其伴侣关系）的结构特性如何约束互异平方数的总数？
• RQ4 通过中断核心实现 $ \epsilon $-伴侣的摊销，是否能获得比以往方法更紧致的界？
• RQ5 对于长度为 $ n $ 的词，其互异平方数少于 $ n $ 的猜想是否能得到接近 $ \frac{3}{2}n $ 的界的支持？

主要发现

• 本文证明长度为 $ n $ 的词中互异平方数少于 $ \frac{3}{2}n $ 个，确立了新的上界。
• 该界通过证明 FS 双平方的数量少于 $ \frac{n}{2} $ 而得出，从而直接推出对互异平方数的上界。
• 对 $ \epsilon $-伴侣及其基于中断核心的摊销分析，使得归纳论证仅依赖于词的后缀，而不依赖于其间隔。
• $ \beta $-伴侣的存在限制了可能的 $ \epsilon $-伴侣数量，从而实现了对平方多重性的更紧密控制。
• $ \alpha $、$ \beta $、$ \epsilon $ 和 $ \eta $-伴侣的分类提供了一个完整且详尽的框架，用于分析重叠平方对。
• 该结果优于先前的界，包括 Deza、Franek 与 Thierry 的 $ \frac{11}{6}n $，以及 Lam 的 $ \frac{95}{48}n $，最终达到 $ \frac{3}{2}n $。