[论文解读] A property of a partial theta function

Vladimir Petrov Kostov|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文建立了部分theta函数 θ(q,x) = ∑_{j=0}^∞ q^{j(j+1)/2}x^j 在 |q| < 1 条件下的基本结构性质。证明了当 q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] 时，θ(q,·) 可分解为一个无实根的2j次实系数多项式与一个属于Laguerre-Pólya类LP-I的函数的乘积；对所有满足 |q| < 1 的 q，θ(q,·) 的重零点至多只有有限个，且除有限个外所有零点均为单零点，并渐近地靠近 -q^{-k}；当 q ∈ (-1,0) 时，θ(q,·) 可分解为一个无实根的实系数多项式与一个具有交错符号实零点的LP类函数的乘积。

ABSTRACT

The series $θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$ converges for $|q|&lt;1$ and defines a {\em partial theta function}. For any fixed $q\in (0,1)$ it has infinitely many negative zeros. It is known that for $q$ taking one of the {\em spectral} values $ ilde{q}_1$, $ ilde{q}_2$, $\ldots$ (where $0.3092493386\ldots = ilde{q}_1

研究动机与目标

• 刻画部分theta函数 θ(q,x) = ∑_{j=0}^∞ q^{j(j+1)/2}x^j 在 |q| < 1 条件下的零点分布与因式分解结构。
• 确定 θ(q,·) 拥有多重实零点的条件，特别是谱值 q̃_j 处的情况。
• 建立当 q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] 时，θ(q,·) 可分解为一个无实根的2j次实系数多项式与一个属于Laguerre-Pólya类LP-I的函数的乘积。
• 分析当 |k| → ∞ 时 θ(q,·) 的零点渐近行为，表明其零点聚集在 -q^{-k} 附近。

提出的方法

• 利用无穷乘积表示 θ(q,x) = ∏_k (1 + x/x_k)，其中 -x_k 是 θ(q,·) 的零点，来分析该函数的收敛性与结构。
• 应用雅可比theta函数 Θ(q,x) 及其零点集 {−q^{-k} : k ∈ ℤ} 的性质，推导 θ(q,·) 零点的渐近逼近。
• 运用阶为零的整函数理论以及Laguerre-Pólya类LP与LP-I的理论，刻画 θ(q,·) 分解为多项式与LP类函数乘积的结构。
• 利用无穷乘积 ∏(1 + x/x_k) 的收敛性以及 θ(q,·) 的阶为零的事实，证明Weierstrass因式分解必为常数倍，从而得出 θ(q,x) = ∏(1 + x/x_k)。
• 应用文献[9]中的定理3（关于无零点整函数），表明任何此类函数必为 e^{φ} 形式，并通过在 x=0 处的归一化得出 φ ≡ 0。
• 当 q ∈ (−1,0) 时，将零点集分解为实零点与共轭复零点对，证明实零点符号交替，并表明实零点乘积构成一个属于LP类的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 q ∈ (0,1) 值，部分theta函数 θ(q,·) 拥有多重实零点？
• RQ2 θ(q,·) 的因式分解在区间 (q̃_j, q̃_{j+1}] 内如何变化？
• RQ3 当 |k| → ∞ 时，对于固定的 q 满足 |q| < 1，θ(q,·) 的零点如何渐近分布？
• RQ4 θ(q,·) 是否可分解为一个无实根的实系数多项式与一个属于Laguerre-Pólya类LP或LP-I的函数的乘积？
• RQ5 对于固定的 q 满足 |q| < 1，θ(q,·) 最多可有多少个重零点？

主要发现

• 对于任意固定的 q ∈ ℂ∖{0} 满足 |q| < 1，函数 θ(q,·) 的重零点至多只有有限个。
• 当 q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] 时，θ(q,·) 可分解为一个无实根的2j次实系数多项式与一个属于Laguerre-Pólya类LP-I的函数的乘积。
• 当 q ∈ (−1,0) 时，θ(q,·) 可分解为一个常数项为1且无实根的实系数多项式与一个具有交错符号实零点的Laguerre-Pólya类LP函数的乘积。
• 对于任意固定的 q ∈ ℂ∖{0} 满足 |q| < 1，当 k 足够大时，θ(q,·) 存在一个单零点 ζ_k，使得当 k → ∞ 时 |ζ_k + q^{-k}| → 0。
• 对于所有满足 |q| < 1 的 q ∈ ℂ∖{0}，无穷乘积表示 θ(q,x) = ∏_k (1 + x/x_k) 成立，其中 -x_k 是 θ(q,·) 的零点（按重数计数）。
• 当 q ∈ (−1,0) 时，θ(q,·) 的实零点模长序列最终为单调递增。