[论文解读] A property of logarithmically absolutely monotonic functions and the logarithmically complete monotonicity of a power-exponential function

Feng Qi, Bai‐Ni Guo|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2009

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 38被引用 73

一句话总结

本文引入了对数绝对完全单调函数的概念，并建立了其与完全单调函数及对数完全单调函数之间的关系。研究证明了在特定参数范围内，幂指数函数 $\left(1 + \frac{\alpha}{x}\right)^{x+\beta}$ 的对数完全单调性，提供了对数完全单调函数属于完全单调函数类的全新证明，并提出了一个关于此类函数表征的开放问题。

ABSTRACT

In the article, a notion "logarithmically absolutely monotonic function" is introduced, an inclusion that a logarithmically absolutely monotonic function is also absolutely monotonic is revealed, the logarithmically complete monotonicity and the logarithmically absolute monotonicity of the function $\bigl(1+\fracαx\bigr) ^{x+β}$ are proved, where $α$ and $β$ are given real parameters, a new proof for the inclusion that a logarithmically completely monotonic function is also completely monotonic is given, and an open problem is posed.

研究动机与目标

• 引入并定义新的对数绝对完全单调函数类。
• 建立对数绝对完全单调函数与绝对完全单调函数之间的包含关系。
• 证明对于实参数 $\alpha$ 和 $\beta$，幂指数函数 $\left(1 + \frac{\alpha}{x}\right)^{x+\beta}$ 的对数完全单调性。
• 提供对数完全单调函数属于完全单调函数类的全新证明。
• 提出一个关于对数完全单调函数表征的开放问题。

提出的方法

• 通过正函数对数的非负导数，引入对数绝对完全单调函数的概念。
• 使用 Faá di Bruno 公式，将 $\ln f(x)$ 的高阶导数表示为 Bell 多项式的形式。
• 利用积分表示分析 $\ln F_{\alpha,\beta}(x) = \ln\left(1 + \frac{\alpha}{x}\right)^{x+\beta}$ 的导数符号。
• 推导 $\ln F_{\alpha,\beta}(x)$ 的二阶及更高阶导数的积分表示，其中涉及在 $u = \alpha t$ 上定义的函数 $p(u)$，该函数单调且具有已知极限。
• 通过分析 $\theta_\alpha(x)$ 在 $x \to 0^-$、$x \to -\infty$ 和 $x \to (-\alpha)^-$ 时的渐近行为，确定单调性所需的参数条件。
• 利用包含关系 $\mathcal{C}_L[I] \subset \mathcal{C}[I]$ 及 Stieltjes 变换的结构，推导出完全单调性的相关结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，函数 $F_{\alpha,\beta}(x) = \left(1 + \frac{\alpha}{x}\right)^{x+\beta}$ 在 $(-\infty, -\alpha)$ 或 $(-\alpha, 0)$ 上是对数完全单调的？
• RQ2 对数绝对完全单调函数与绝对完全单调函数之间有何关系？
• RQ3 如何根据参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 来表征 $F_{\alpha,\beta}(x)$ 的对数完全单调性？
• RQ4 能否通过 $\ln f(x)$ 的导数符号分析，独立证明包含关系 $\mathcal{C}_L[I] \subset \mathcal{C}[I]$？
• RQ5 函数 $F_{\alpha,\beta}(x)$ 在 $(-\infty, -\alpha)$ 上为对数绝对完全单调函数的必要且充分条件是什么，关于参数 $\alpha$ 和 $\beta$？

主要发现

• 当 $\alpha > 0$ 且 $\beta \geq \frac{\alpha}{2}$ 时，函数 $F_{\alpha,\beta}(x) = \left(1 + \frac{\alpha}{x}\right)^{x+\beta}$ 在 $(0, \infty)$ 上是对数完全单调的。
• 当 $2\beta \leq \alpha$ 且 $\alpha > 0$ 时，函数 $F_{\alpha,\beta}(x)$ 在 $(-\infty, -\alpha)$ 上是对数完全单调的；当 $\beta \geq 0$ 时，其在 $(-\alpha, 0)$ 上是对数完全单调的。
• 当 $2\beta \leq \alpha$ 时，函数 $F_{\alpha,\beta}(x)$ 在 $(-\infty, -\alpha)$ 上是对数绝对完全单调的；当 $\beta \geq 0$ 时，其在 $(-\alpha, 0)$ 上是对数绝对完全单调的，且 $\ln F_{\alpha,\beta}(x)$ 的导数符号由 $p(u)$ 的行为决定。
• 利用 $\ln f(x)$ 的导数结构与 Faá di Bruno 公式，重新证明了包含关系 $\mathcal{C}_L[I] \subset \mathcal{C}[I]$。
• 当 $\beta < 0$ 时，$F_{\alpha,\beta}(x)$ 在 $(-\infty, -\alpha)$ 上不是对数完全单调的，这由其一阶导数的符号所证实。
• 提出了一个关于对数完全单调函数的完整表征的开放问题，尤其关注其与参数依赖行为的关系。