[论文解读] A pseudocompactification

M. R. Koushesh|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过取在 Stone-Čech 紧化 βX 中 βX∖υX 的闭包，为局部伪紧致的 Tychonoff 空间引入了一种新的伪紧化，记为 ζX，其中 υX 是 Hewitt 实紧化。关键结果是：在所有具有紧余集的此类扩张中，ζX 是在标准偏序 ≤ 下最大的伪紧化，并通过 z-超滤子和零集交集进行刻画。

ABSTRACT

For a locally pseudocompact space $X$ let [ζX=X\cup cl_{βX}(βX\backslash\upsilon X).] It is proved that $ζX$ is the largest (with respect to the standard partial order $\leq$) among all pseudocompactifications of $X$ which have compact remainder. Other characterizations of $ζX$ are also given.

研究动机与目标

• 为局部伪紧致的 Tychonoff 空间定义并研究一种新的伪紧化 ζX。
• 在标准偏序 ≤ 下，确立 ζX 为具有紧余集的伪紧化中的最大者。
• 通过 z-超滤子和零集交集，提供 ζX 的内部与外部刻画。
• 通过将 Aull–Sawyer 的 αX 相关结果推广至更广泛的局部伪紧致空间类，实现一般化。
• 澄清在紧化中伪紧性、实紧性与余集结构之间的关系。

提出的方法

• 将 ζX 定义为 βX 中的子空间 X ∪ clβX(βX ∖ υX)，利用 Stone-Čech 紧化与 Hewitt 实紧化。
• 利用 Hager–Johnson 引理及具有伪紧闭包的 cozero-集的性质，将 intβX υX 刻画为所有满足 clX C 伪紧的 C ∈ Coz(X) 的 ExX C 的并集。
• 证明 clβX Z ⊆ intβX υX 当且仅当 Z 包含于某个具有伪紧闭包的 cozero-集内。
• 在扩张上应用偏序 ≤，证明任何具有紧余集的 X 的伪紧化 Y 都满足 Y ≤ ζX。
• 利用 βX 中的 z-超滤子表示，证明 ζX 是唯一满足特定自由 z-超滤子的收敛性与不相交性条件的扩张。
• 证明 ζX 满足条件 (⋆)：当 S ∩ Z 包含于某个具有伪紧闭包的 C ∈ Coz(X) 时，有 clY S ∩ clY Z ⊆ X。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于局部伪紧致空间 X，具有紧余集的最大伪紧化是什么？
• RQ2 ζX 如何通过 X 中的 z-超滤子进行刻画？
• RQ3 在何种条件下 ζX 与 αX、βX 或 X 重合？
• RQ4 何种拓扑条件可确保具有紧余集的 X 的伪紧化 Y 满足 Y ≤ ζX？
• RQ5 βX ∖ υX 的结构如何与 X 的伪紧化余集相关？

主要发现

• 当 X 局部伪紧致时，ζX 是在所有具有紧余集的伪紧化中，关于 ≤ 最大的伪紧化。
• ζX = X 当且仅当 X 是伪紧致的。
• ζX = βX 当且仅当 X 的任何具有伪紧闭包的 cozero-集都不包含 X 的非紧零集。
• ζX = αX 当且仅当 υX ∖ X ⊆ intβX υX，或等价地，每个具有可数交性质的自由 z-超滤子在 X 中也是 ζX 中的自由超滤子。
• ζX 满足条件 (⋆)：对任意 S, Z ∈ Z(X)，若 S ∩ Z ⊆ C 对某个满足 clX C 伪紧的 C ∈ Coz(X) 成立，则有 clY S ∩ clY Z ⊆ X。
• 任何具有紧余集的 X 的伪紧化 Y 都可表示为 Y = X ∪ E，其中 E 是某个 X 的紧化 K 的 K ∖ X 的紧子集，且 E 包含 φ[ζX ∖ X]，表明所有此类 Y 均源于 ζX。