[论文解读] A PTAS for Scheduling with Tree Assignment Restrictions

Ulrich M. Schwarz|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2010

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多项式时间近似方案（PTAS），用于具有树形层级分配限制的作业调度问题，其中每个作业只能被分配到根节点到某节点路径上的机器上。通过结合作业大小的几何舍入、基于配置的动态规划以及分层自底向上的处理，该算法在输入规模的多项式时间内、$1/\epsilon$ 的指数时间内实现了 $(1+4\epsilon)$-近似，优于先前的 $4/3$-近似。

ABSTRACT

Scheduling with assignment restrictions is an important special case of scheduling unrelated machines which has attracted much attention in the recent past. While a lower bound on approximability of 3/2 is known for its most general setting, subclasses of the problem admit polynomial-time approximation schemes. This note provides a PTAS for tree-like hierarchical structures, improving on a recent 4/3-approximation by Huo and Leung.

研究动机与目标

• 填补已知的 $4/3$-近似与最优解之间在具有树形层级分配限制的调度问题上的差距。
• 为具有分配约束的非相关机调度问题的这一特殊情形，设计一种多项式时间近似方案（PTAS）。
• 将存在PTAS的分配结构类别扩展至嵌套和区间限制之外。
• 证明尽管该问题为NP难，树形层级结构仍可实现任意好的近似解。

提出的方法

• 将所有大作业（大小大于 $\epsilon C$）舍入至形式为 $\epsilon C \cdot (1+\epsilon)^k$ 的大小，以将不同大小的数量减少至 $O(\log_{1+\epsilon} 1/\epsilon)$，即仅依赖于 $\epsilon$ 的常数。
• 通过配置元组表示每个节点处的作业子集：大作业大小的计数以及小作业总大小（以 $\epsilon C$ 的倍数为单位）并向上取整。
• 在树上采用自底向上的动态规划方法，其中每个节点聚合其子节点的可行配置，并将其与自身作业集组合。
• 对每个节点，维护一组可向上推送的可行配置组合，包括在该节点上调度子配置并将剩余部分向上推送的选项。
• 通过贪心方式处理小作业，将可用空间填充至下一个 $\epsilon C$ 的倍数，每台机器最多产生 $\epsilon C$ 的超额，该超额被控制在整体近似因子内。
• 对完成时间 $C$ 进行二分查找，并通过动态规划过程验证可行性，以获得 $(1+4\epsilon)$-近似调度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有树形层级分配限制的调度问题设计一种PTAS，其中每个作业被限制在树中从根到叶节点的路径上的机器上？
• RQ2 树形层级结构是否允许优于Hu和Leung先前提出的 $4/3$-近似的结果？
• RQ3 尽管该问题为NP难，是否仍可为该问题类别实现任意好的近似比？
• RQ4 基于配置的动态规划方法是否可被适配于具有有界作业大小舍入的分层树结构？

主要发现

• 本文建立了具有树形层级分配限制的调度问题的PTAS，对任意 $\epsilon > 0$ 实现了 $(1+4\epsilon)$-近似。
• 运行时间在输入规模上为多项式时间，在 $1/\epsilon$ 上为指数时间，符合PTAS的定义。
• 该方法结合了大作业的几何舍入与树结构上的基于配置的动态规划，以保持可行性与近似保证。
• 小作业通过以 $\epsilon C$ 的倍数为单位贪心填充空间来处理，每台机器最多引入额外 $\epsilon C$ 的超额，该超额被控制在整体近似因子内。
• 该算法在存在长度为 $C$ 的调度时，能正确识别出长度至多为 $(1+4\epsilon)C$ 的可行调度，通过一种松弛的判定过程实现。
• 该结果优于Hu和Leung先前的 $4/3$-近似，并表明树形层级结构可实现任意好的近似。