[论文解读] A PTAS for the continuous 1.5D Terrain Guarding Problem

Stephan Friedrichs, Michael Hemmer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过构建保持最优覆盖的有限守卫集与观测点集，提出了一种连续1.5D地形警戒问题的多项式时间近似方案（PTAS）。证明了最优守卫覆盖存在于一个有限的候选守卫集合中，从而可将已知的离散版本PTAS应用于连续情形，实现任意精度的近似。

ABSTRACT

In the continuous 1.5-dimensional terrain guarding problem we are given an $x$-monotone chain (the \emph{terrain} $T$) and ask for the minimum number of point guards (located anywhere on $T$), such that all points of $T$ are covered by at least one guard. It has been shown that the 1.5-dimensional terrain guarding problem is \NP-hard. The currently best known approximation algorithm achieves a factor of $4$. For the discrete problem version with a finite set of guard candidates and a finite set of points on the terrain that need to be monitored, a polynomial time approximation scheme (PTAS) has been presented [10]. We show that for the general problem we can construct finite guard and witness sets, $G$ and $W$, such that there exists an optimal guard cover $G^* \subseteq G$ that covers $T$, and when these guards monitor all points in $W$ the entire terrain is guarded. This leads to a PTAS as well as an (exact) IP formulation for the continuous terrain guarding problem.

研究动机与目标

• 通过为连续情形提供近似方案，弥合离散与连续1.5D地形警戒问题之间的差距。
• 证明存在一个有限的守卫候选集合，使得连续地形的最优守卫覆盖完全包含于该集合中。
• 构建一个有限的观测点集，使得覆盖所有观测点可确保地形的完全覆盖。
• 建立在这些有限集合上求解离散问题可得到连续问题的最优解。
• 为连续地形警戒问题实现PTAS与精确的整数规划公式化。

提出的方法

• 基于极值可见点与地形顶点，构造大小为 $ O(n^2) $ 的有限守卫候选集 $ U $。
• 定义大小为 $ O(n^3) $ 的有限观测点集 $ W(U) $，其由 $ U $ 中守卫的可见区域中的极值点组成。
• 证明连续地形警戒问题的任意最优守卫覆盖均可仅由 $ U $ 中的守卫实现，且覆盖 $ W(U) $ 可确保地形的完全覆盖。
• 利用Gibson等人[11]针对离散地形警戒问题 $ \text{TGP}(G,W) $ 的现有PTAS，将其应用于 $ \text{TGP}(U, W(U)) $。
• 使用 $ U $ 中的守卫作为二值变量，以 $ W(U) $ 中的点为覆盖约束，将连续地形警戒问题公式化为整数规划（IP）。
• 利用等价关系 $ \text{OPT}(T,T) = \text{OPT}(U, W(U)) $，将离散问题的近似与精确解保证传递至连续情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个有限的守卫候选集，使得连续1.5D地形警戒问题的最优解完全包含于其中？
• RQ2 是否存在一个有限的观测点集，使得覆盖所有观测点可确保连续地形的完全覆盖？
• RQ3 此类有限集合的存在是否允许将专为离散地形警戒问题设计的现有PTAS算法应用于连续情形？
• RQ4 能否使用有限守卫集与观测点集，将连续地形警戒问题精确地公式化为整数规划？
• RQ5 连续问题的最优解大小与在有限集合上对应的离散问题的最优解大小之间有何关系？

主要发现

• 存在一个大小为 $ O(n^2) $ 的有限守卫候选集 $ U $，使得连续地形的最优守卫覆盖完全包含于 $ U $ 中。
• 存在一个大小为 $ O(n^3) $ 的有限观测点集 $ W(U) $，使得覆盖 $ W(U) $ 中所有点可确保地形的完全覆盖。
• 连续地形警戒问题的最优解大小 $ \text{OPT}(T,T) $ 等于在 $ U $ 和 $ W(U) $ 上的离散问题的最优解大小，即 $ \text{OPT}(T,T) = \text{OPT}(U, W(U)) $。
• 通过将Gibson等人[11]的PTAS应用于 $ \text{TGP}(U, W(U)) $，实现了连续1.5D地形警戒问题的多项式时间近似方案（PTAS），对任意 $ \epsilon > 0 $，可获得 $ (1+\epsilon) $ 近似解。
• 通过将 $ U $ 作为守卫变量、$ W(U) $ 作为覆盖约束，建立了连续地形警戒问题的精确整数规划公式化。
• 结果表明，通过守卫与观测点的有限离散化，连续地形警戒问题可同时适用于近似与精确求解方法。