[论文解读] A q-analogue of the Drinfeld-Sokolov hierarchy of type A and q-Painleve system

Takao Suzuki|arXiv (Cornell University)|May 21, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文提出了类型 A 的 Drinfeld-Sokolov 层次的 q-类比，特别针对 mn 的分拆 (n,…,n)，并建立了其与 q-Painlevé 系统的联系。通过将 q-DS 层次进行相似性约化，作者推导出 q-Painlevé 系统 q-P_{(n,n)}，该系统具有以 q-超几何函数 ${}_n\phi_{n-1}$ 表示的特解，从而推广了 q-Painlevé VI 方程。

ABSTRACT

In this article, we propose a q-analogue of the Drinfeld-Sokolov hierarchy of type A. We also discuss its relationship with the q-Painleve VI equation and the q-hypergeometric function.

研究动机与目标

• 构建类型 A 的 Drinfeld-Sokolov 层次的 q-类比，特别针对 mn 的分拆 (n,…,n)。
• 建立 q-DS 层次的相似性约化，从而导出 q-Painlevé 系统 q-P_{(n,n)}。
• 证明 q-P_{(n,n)} 允许以 q-超几何函数 ${}_n\phi_{n-1}$ 表示的特解。
• 通过此构造将 q-Painlevé VI 方程推广至更高阶系统。

提出的方法

• 使用 mn×mn 矩阵 e_j, f_j, h_j 及分级参数 λ 和 q-平移算子 T_λ 构造 q-DS 层次。
• 通过涉及矩阵值函数和 q-差分算子的 Lax 方程定义 q-DS 层次。
• 对 q-DS 层次应用对应于分拆 (n,n) 的相似性约化，导出系统 q-P_{(n,n)}。
• 通过线性 q-差分系统上的 q-Laplace 变换，从 q-P_{(2,2)} 推导出 q-Painlevé VI 方程。
• 利用满足特定行列式与特征值条件的矩阵函数 A(z,t) 和 B(z,t) 构造 q-P_{(n,n)} 的 Lax 对。
• 将系统特化，得到向量 x(t) 的线性 q-差分方程，从而导出以 ${}_n\phi_{n-1}$ 表示的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 mn 的分拆 (n,…,n) 构造类型 A 的 Drinfeld-Sokolov 层次的 q-类比？
• RQ2 通过 q-DS 层次的相似性约化获得的 q-Painlevé 系统 q-P_{(n,n)} 的结构是什么？
• RQ3 q-Painlevé 系统 q-P_{(n,n)} 是否允许以 q-超几何函数 ${}_n\phi_{n-1}$ 表示的解？
• RQ4 q-P_{(2,2)} 系统与已知的 q-Painlevé VI 方程有何关系？
• RQ5 q-Laplace 变换在从 q-DS 层次推导 q-Painlevé VI 方程中的作用是什么？

主要发现

• 通过分级矩阵 e_j, f_j, h_j 和 q-平移算子，为 mn 的分拆 (n,…,n) 构建了 q-DS 层次。
• 系统 q-P_{(n,n)} 作为 q-DS 层次的相似性约化被导出，并推广了 q-Painlevé VI 方程。
• 通过在线性 q-差分系统上应用 q-Laplace 变换，从 q-P_{(2,2)} 恢复了 q-Painlevé VI 方程 (1.1)。
• 系统 q-P_{(n,n)} 允许以 q-超几何函数 ${}_n\phi_{n-1}$ 表示的特解。
• 该解显式地以参数 a_j, b_j 表示，涉及以 t 为变量的正式幂级数，其系数由 q-Pochhammer 符号定义。
• 构造了满足相容性条件的 q-P_{(n,n)} 的 Lax 对，其中矩阵 A(z,t) 的次数为 2，B(z,t) 关于 z 和 t 呈有理函数依赖。