[论文解读] A q-enumeration of alternating permutations

Matthieu Josuat-Vergès|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过排列和错位排列中的交叉数，对交替排列进行 q-计数，改进了经典的欧拉和罗塞勒恒等式。通过两种方法——排列表格和加权 Motzkin 路径（拉盖尔历史）——推导出 q-切线数和 q-正割数的闭式公式，建立了 q-欧拉统计量与 q-切线和 q-正割生成函数连分数展开之间的联系。

ABSTRACT

A classical result of Euler states that the tangent numbers are an alternating sum of Eulerian numbers. A dual result of Roselle states that the secant numbers can be obtained by a signed enumeration of derangements. We show that both identities can be refined with the following statistics: the number of crossings in permutations and derangements, and the number of patterns 31-2 in alternating permutations. Using previous results of Corteel, Rubey, Prellberg, and the author, we derive closed formulas for both q-tangent and q-secant numbers. There are two different methods to obtain these formulas: one with permutation tableaux and one with weighted Motzkin paths (Laguerre histories).

研究动机与目标

• 使用 q-类比的排列统计量（如交叉和弱超越）改进切线和正割数的经典欧拉与罗塞勒恒等式。
• 建立 q-切线和 q-正割数与排列和错位排列中交叉和弱超越统计量之间的联系。
• 通过组合方法推导 q-切线和 q-正割数的闭式表达式。
• 统一两种不同的组合方法——排列表格和加权 Motzkin 路径——以证明这些恒等式。

提出的方法

• 本文使用排列中的交叉统计量 cr(σ) 和弱超越统计量 wex(σ)，对对称群和错位群上的带符号和进行改进。
• 利用连分数理论，将 q-切线和 q-正割生成函数表示为包含 q-整数 [k]_q 的 T-连分数。
• 该方法涉及构造加权 Dyck 路径和 Schröder 路径，其中步长权重取决于高度，并分配 q 的幂次。
• 利用包含基本超几何级数 2φ1 和海因变换的生成函数来计算路径和。
• 提供了两种独立的证明：一种基于排列表格，另一种基于拉盖尔历史（加权 Motzkin 路径）。
• 通过分解路径权重，并应用符号相反的对合或从超几何级数中提取系数，推导出闭式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用交叉和弱超越等排列统计量的 q-类比，改进切线和正割数的经典欧拉与罗塞勒恒等式？
• RQ2 q-切线和 q-正割数在排列表格和加权格路中的组合解释是什么？
• RQ3 涉及 wex(σ) 和 cr(σ) 的排列和错位排列上的带符号和，如何与 q-切线和 q-正割生成函数的连分数展开相关联？
• RQ4 是否存在一个统一的、与奇偶性无关的 E_n(q) 公式，能同时涵盖 q-切线和 q-正割情形？
• RQ5 能否通过在加权路径上应用符号相反的对合，推导出 E_n(q) 的闭式表达式？

主要发现

• 本文证明了当 n 为奇数时，∑σ∈𝔖n (−1)^wex(σ) q^cr(σ) = (−1)^((n−1)/2) E_n(q)，当 n 为偶数时为 0。
• 对于错位排列，当 n 为偶数时，∑σ∈𝒟_n (−1/q)^wex(σ) q^cr(σ) = (−1/q)^(n/2) E_n(q)，当 n 为奇数时为 0。
• 通过二项式系数和 q-指数的交错和，推导出 E_{2n+1}(q) 和 E_{2n}(q) 的闭式公式。
• E_{2n+1}(q) 的公式为 (1−q)^{−(2n+1)} ∑_{k=0}^n (binom{2n+1}{n−k} − binom{2n+1}{n−k−1}) ∑_{i=0}^{2k+1} (−1)^{i+k} q^{i(2k+2−i)}
• E_{2n}(q) 的公式为 (1−q)^{−2n} ∑_{k=0}^n (binom{2n}{n−k} − binom{2n}{n−k−1}) ∑_{i=0}^{2k} (−1)^{i+k} q^{i(2k−i)+k}
• 推导出 E_n(q) 的统一表达式为 (−1)^{⌊n/2⌋}/(1−q)^n 乘以关于 k 和 i 的求和，其中包含二项式差和 q-指数，对偶数和奇数 n 均成立。