[论文解读] A QAOA-inspired circuit for Grover's unstructured search using a transverse field

Jiang Zhang, Eleanor Rieffel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种受QAOA启发的量子线路，通过交替应用问题哈密顿量（预言机）和横向场，实现了无结构搜索的格罗弗二次加速。利用自旋相干态分析，证明了跃迁速率为 $\Theta(1/\sqrt{N})$ 量级，重叠度为 $\Theta(1)$ 量级，从而得到查询复杂度 $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$，这是首个不依赖Trotter化的QAOA，实现了量子优势。

ABSTRACT

Inspired by a class of algorithms proposed by Farhi et al., namely the quantum approximate optimization algorithm (QAOA), we present a circuit-based quantum algorithm to search for a needle in a haystack, obtaining the same quadratic speedup achieved by Grover's original algorithm. In our algorithm, the problem Hamiltonian (oracle) and a transverse field are applied alternately to the system in a periodic manner. We introduced a novel technique, a spin-coherent-state approach, to analyze the composite unitary in a single period. This composite unitary drives a closed transition between two states that have high degrees of overlap with the initial state and the target state, respectively. The transition rate in our algorithm is of order $\Theta(1/\sqrt N)$, and the overlaps are of order $\Theta(1)$, yielding a nearly optimal query complexity of $T\simeq \sqrt N (\pi/2\sqrt 2\,)$. Our algorithm is the first example of a QAOA circuit that demonstrates a quantum advantage with large number of iterations that is not derived from Trotterization of an adiabatic quantum optimization (AQO) algorithm. It also suggests that the analysis required to understand QAOA circuits involves a very different process from estimating the energy gap of a Hamiltonian in AQO.

研究动机与目标

• 开发一种受QAOA启发的量子算法，实现在不依赖绝热演化或Trotter化的情况下，格罗弗算法的二次加速。
• 使用新颖的自旋相干态方法，分析由问题哈密顿量和横向场组成的周期性驱动量子系统的动力学。
• 证明非绝热、非Trotter化的QAOA线路仍可在搜索问题中实现量子优势。
• 建立QAOA动力学与相干态跃迁结构之间的联系，区别于绝热量子优化中的能隙分析。
• 通过与初始态和目标态的高重叠度，实现接近最优的查询复杂度 $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$。

提出的方法

• 该算法以周期性序列交替应用问题哈密顿量（预言机）和横向场，形成复合幺正演化。
• 采用自旋相干态方法分析单个周期内的有效演化，实现对两个态之间闭合跃迁的识别。
• 该方法通过复合幺正算符识别出两个态：一个与初始态重叠度高，另一个与目标态重叠度高。
• 推导出这两个态之间的跃迁速率为 $\Theta(1/\sqrt{N})$，与搜索空间大小的平方根成反比。
• 分析表明，演化态与初始态和目标态的重叠度均为 $\Theta(1)$，确保高效的布居转移。
• 查询复杂度估计为 $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$，接近格罗弗算法的理论最优值。

实验结果

研究问题

• RQ1 受QAOA启发的线路是否能在不依赖绝热演化或Trotter化的情况下实现格罗弗的二次加速？
• RQ2 横向场在非绝热条件下如何促进初始态与目标态之间的相干布居转移？
• RQ3 自旋相干态形式化如何实现对QAOA线路中复合幺正演化分析？
• RQ4 所提出算法中跃迁速率和态重叠度的标度关系如何，它们如何影响查询复杂度？
• RQ5 尽管该方法并非源自绝热量子优化，它是否在大量迭代下仍能展示搜索问题中的量子优势？

主要发现

• 该算法实现了 $\Theta(1/\sqrt{N})$ 量级的跃迁速率，这是无结构搜索的最优值。
• 演化态与初始态和目标态的重叠度均为 $\Theta(1)$ 量级，表明存在强布居转移。
• 查询复杂度为 $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$，接近格罗弗算法的理论最小值。
• 该方法提供了一种新的分析框架，利用自旋相干态理解QAOA动力学，超越能隙估计。
• 这是首个通过周期性驱动而非绝热演化或Trotter化获得量子优势的QAOA线路。
• 结果表明，QAOA分析需要与绝热量子优化所用工具根本不同的方法。