[论文解读] A QPTAS for Facility Location on Unit Disk Graphs

James R. Lee, Rezapour, Mohsen+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用 7

一句话总结

该论文通过证明每个弦图（即平面中连续弧的交集图）具有大小为 O(√m) 的平衡分隔符，其中 m 为边数，从而为单位圆图上的设施位置问题建立了准多项式时间近似方案（QPTAS）。该结果证实了 Fox 和 Pach（2010）的猜想，并通过谱划分和共形度量方法，将平面分隔符定理推广到更广泛的图类，包括排除固定小图的图类。

ABSTRACT

For undirected graphs G=(V,E) and G_0=(V_0,E_0), say that G is a region intersection graph over G_0 if there is a family of connected subsets {R_u \subseteq V_0 : u \in V} of G_0 such that {u,v} \in E \iff R_u \cap R_v eq \emptyset. We show if G_0 excludes the complete graph K_h as a minor for some h \geq 1, then every region intersection graph G over G_0 with m edges has a balanced separator with at most c_h \sqrt{m} nodes, where c_h is a constant depending only on h. If G additionally has uniformly bounded vertex degrees, then such a separator is found by spectral partitioning. A string graph is the intersection graph of continuous arcs in the plane. String graphs are precisely region intersection graphs over planar graphs. Thus the preceding result implies that every string graph with m edges has a balanced separator of size O(\sqrt{m}). This bound is optimal, as it generalizes the planar separator theorem. It confirms a conjecture of Fox and Pach (2010), and improves over the O(\sqrt{m} \log m) bound of Matousek (2013).

研究动机与目标

• 解决 Fox 和 Pach（2010）提出的猜想：m 条边的弦图具有 O(√m) 大小的平衡分隔符。
• 将平面分隔符定理推广至排除固定小图 Kh 的区域交集图。
• 开发一种构造性、多项式时间的算法，利用线性规划和谱方法计算此类分隔符。
• 建立排除小图图类中特征值和极值展开的紧致界，从而支持在度量嵌入和流理论中的应用。

提出的方法

• 使用基于基图 G0 的区域交集图（rig）概念，其中顶点对应于 G0 的连通子集。
• 应用共形图度量和填充划分，以控制随机分隔符构造中的畸变。
• 利用共形度量与多商品流之间的对偶性，以界定拥塞并推导分隔符大小。
• 采用谱划分技术在有界度图中寻找分隔符。
• 引入“谨慎小图”和“切分树”以管理排除小图图类中的结构复杂性。
• 使用加权 L2 范数和特征值界，推导出分隔符大小的定量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 m 条边的弦图是否具有 O(√m) 大小的平衡分隔符？
• RQ2 平面分隔符定理能否推广至排除固定小图 Kh 的图类？
• RQ3 分隔符大小对排除小图参数 h 的最优依赖关系为何？
• RQ4 谱方法能否用于在有界度 rig 中高效构造分隔符？
• RQ5 此类图族在双李普希茨嵌入和多商品流最小割定理方面有何含义？

主要发现

• 本文证明了每个 m 条边的弦图具有大小为 O(√m) 的 2/3-平衡分隔符，从而证实了 Fox 和 Pach（2010）的猜想。
• 对于任意在排除 Kh 作为小图的图 G0 上的 rig G，其平衡分隔符大小被限制为 ch√m，其中 ch ≤ O(h³√log h)。
• 当顶点度数有界时，谱划分可产生此类分隔符，从而提供一种构造性算法。
• 该结果在定量上优于 Matoušek 的 O(√m log m) 界，实现了最优的 O(√m) 大小。
• 建立了特征值界 λk(G) ≤ O(d²_max h⁶ log h / k) · |V_G|，将谱性质与分隔符结构联系起来。
• 对于任意顶点上的概率测度 µ，存在大小为 O(ch√m / n) 的加权分隔符，其中 ch ≤ O(h³ log h)。