[论文解读] A QPTAS for maximum weight independent set of polygons with polylogarithmically many vertices

Anna Adamaszek, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 26被引用 28

一句话总结

本文提出了一种最大权独立多边形集（MWISP）问题的准多项式时间近似方案（QPTAS），当每个多边形的顶点数至多为多对数规模时成立。该工作扩展了一个几何近似框架，通过将问题约化为三角形，并引入一种新型平面分割方法以处理任意角度的多边形，从而在时间 2^{poly(log n, 1/ε)} 内实现 (1 + ε)-近似。

ABSTRACT

The Maximum Weight Independent Set of Polygons (MWISP) problem is a fundamental problem in computational geometry. Given a set of weighted polygons in the two-dimensional plane, the goal is to find a set of pairwise non-overlapping polygons with maximum total weight. Due to its wide range of applications and connections to other problems, the MWISP problem and its special cases have been extensively studied both in the approximation algorithms and the computational geometry community. Despite a lot of research, its general case is not well-understood yet. Currently the best known polynomial time algorithm achieves an approximation ratio of ne, and it is not even clear whether the problem is APX-hard. We present a (1 + e)-approximation algorithm, assuming that each polygon in the input has at most a polylogarithmic number of vertices. Our algorithm has quasi-polynomial running time, i.e., it runs in time 2poly(log n, 1/e). In particular, our result implies that for this setting the problem is not APX-hard, unless NP ⊆ DTIME(2poly(log n)).We use a recently introduced framework for approximating maximum weight independent set in geometric intersection graphs. The framework has been used to construct a QPTAS in the much simpler case of axis-parallel rectangles. We extend it in two ways, to adapt it to our much more general setting. First, we show that its technical core can be reduced to the case when all input polygons are triangles. Secondly, we replace its key technical ingredient which is a method to partition the plane using only few edges such that the objects stemming from the optimal solution are evenly distributed among the resulting faces and each object is intersected only a few times. Our new procedure for this task is no more complicated than the original one and, importantly, it can handle the difficulties arising from the arbitrary angles of the input polygons. Note that already this obstacle makes the known analysis for the above framework fail. Also, in general it is not well understood how to handle this difficulty by efficient approximation algorithms.

研究动机与目标

• 开发一种针对最大权独立多边形集（MWISP）问题的高效近似算法，其约束条件为每个多边形的顶点数为多对数规模。
• 扩展一个此前仅对轴对齐矩形有效的几何近似框架，使其能够处理具有任意形状和任意角度的多边形。
• 克服非均匀多边形方向导致先前分析与分割技术失效的挑战。
• 证明当顶点数有界时，MWISP 不是 APX-难的，除非 NP ⊆ DTIME(2^{poly(log n)}），从而得出强有力的不可近似性界。
• 设计一种平面分割过程，使得最优解中的多边形在各面之间均匀分布，同时最小化边的交叉次数，即使在复杂角度下也成立。

提出的方法

• 将一般 MWISP 问题约化为所有输入多边形均为三角形的特殊情况，同时保持近似保证。
• 通过引入一种新的几何分解方法，将原始框架中的核心平面分割技术适配至任意角度的多边形。
• 构造一种使用少量边的平面分割，使得最优解中的每个多边形仅与常数个面相交，并且在这些面中均匀分布。
• 确保新分割方法在引入非正交多边形复杂性后，仍保持原始框架的效率与近似性质。
• 在所得分割面的基础上使用动态规划，以准多项式时间计算出 (1 + ε)-近似解。
• 证明新分割过程在应用于具有任意角度的多边形时，可避免先前方法的失效情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将几何独立集问题的 QPTAS 框架从轴对齐矩形扩展至顶点数有界的任意多边形？
• RQ2 当输入多边形具有任意角度和非矩形形状时，为保持近似保证，需要进行哪些修改？
• RQ3 当顶点数为多对数规模时，MWISP 问题是 APX-难的吗？还是在合理复杂性假设下可接受 QPTAS？
• RQ4 能否设计一种平面分割方法，确保在任意多边形上，既保持低交叉次数，又使最优解对象在各面间均匀分布？
• RQ5 处理任意多边形角度如何影响现有几何近似框架的分析与效率？

主要发现

• 本文提出了一种针对顶点数为多对数规模的 MWISP 问题的 (1 + ε)-近似算法，其时间复杂度为准多项式时间 2^{poly(log n, 1/ε)}。
• 该算法将一般 MWISP 问题约化为三角形情形，从而可应用专门的几何技术。
• 提出了一种新型平面分割方法，可处理任意多边形角度，并确保每个最优多边形仅与 O(1) 个面相交。
• 框架的核心技术组件被适配用于非矩形多边形，且未牺牲近似质量。
• 该结果表明，当顶点数有界时，MWISP 不是 APX-难的，除非 NP ⊆ DTIME(2^{poly(log n)}），具有强烈的复杂性理论含义。
• 分析成功克服了先前方法在应用于具有任意方向的多边形时失效的障碍。