[论文解读] A Quadratic Lower Bound for Homogeneous Algebraic Branching Programs

Yabe, Akihiro|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文引入了双多项式秩作为行列式复杂度的一种新型基于秩的下界技术，证明其可为计算多项式的算术分支程序大小提供下界。在实数域上，该方法对永久多项式给出了紧致的 (d−1)²+1 下界，优于先前的 d²/2 下界，并通过凹最小化方法提出了一种新颖的优化策略来应对永久多项式与行列式之间的难题。

ABSTRACT

An algebraic branching program (ABP) is a directed acyclic graph, with a start vertex s, and end vertex t and each edge having a weight which is an affine form in variables x_1, x_2, ..., x_n over an underlying field. An ABP computes a polynomial in a natural way, as the sum of weights of all paths from s to t, where the weight of a path is the product of the weights of the edges in the path. An ABP is said to be homogeneous if the polynomial computed at every vertex is homogeneous. In this paper, we show that any homogeneous algebraic branching program which computes the polynomial x_1^n + x_2^n + ... + x_n^n has at least Omega(n^2) vertices (and edges). To the best of our knowledge, this seems to be the first non-trivial super-linear lower bound on the number of vertices for a general homogeneous ABP and slightly improves the known lower bound of Omega(n log n) on the number of edges in a general (possibly non-homogeneous) ABP, which follows from the classical results of Strassen (1973) and Baur--Strassen (1983). On the way, we also get an alternate and unified proof of an Omega(n log n) lower bound on the size of a homogeneous arithmetic circuit (follows from [Strassen, 1973] and [Baur-Strassen, 1983]), and an n/2 lower bound (n over reals) on the determinantal complexity of an explicit polynomial [Mignon-Ressayre, 2004], [Cai, Chen, Li, 2010], [Yabe, 2015]. These are currently the best lower bounds known for these problems for any explicit polynomial, and were originally proved nearly two decades apart using seemingly different proof techniques.

研究动机与目标

• 开发一种新型基于秩的行列式复杂度下界技术。
• 改进永久多项式行列式复杂度已知的二次下界 d²/2。
• 提出一种利用凹最小化计算双多项式秩的计算框架。
• 为代数复杂度理论中永久多项式与行列式问题的攻破提供新策略。

提出的方法

• 将齐次多项式 p ∈ K[x](2k) 的双多项式秩 b-rank(p) 定义为满足 p = Σ_{i=1}^n fi gi（其中 fi, gi ∈ K[x](k)）的最小 n 值。
• 证明：对任意 x0 ∈ Zeros(p)，有 dc(p) ≥ (1/2^{2k−2}) × b-rank(p(2k)_x0) − 2(k−1)D^{k−1}。
• 将 b-rank(p) 的计算表述为在仿射子空间 Xp ⊆ Sym_n 上的秩最小化问题，且与半正定矩阵相交。
• 应用凹最小化理论：若对所有 X ∈ Xp ∩ Psd_n，其 n−r 个最小特征值之和为正，则 b-rank(p) > r/2。
• 通过包含 Xp ∩ Psd_n 的多面凸集 P 的极点构造证书，以验证最小特征值之和为正。
• 将该方法应用于永久多项式，证明若 b-rank(perm(2k)_d,X_d) = Ω(d^{2k})，则 dc(permd) = Ω(d^{2k})。

实验结果

研究问题

• RQ1 更高阶的 Hessian 秩方法推广能否带来行列式复杂度下界的改进？
• RQ2 双多项式秩是否能为永久多项式的行列式复杂度提供有意义的下界？
• RQ3 凹最小化技术能否在实数域上高效计算或下界估计双多项式秩？
• RQ4 是否存在一种计算策略，可通过永久多项式的四阶导数建立 dc(permd) 的 Ω(d^4) 下界？
• RQ5 双多项式秩框架能否用于构建永久多项式与行列式问题的新优化理论翻转策略？

主要发现

• 双多项式秩为行列式复杂度提供了下界：dc(p) ≥ (1/2^{2k−2}) × b-rank(p(2k)_x0) − 2(k−1)D^{k−1}。
• 在实数域上，d×d 永久多项式的行列式复杂度满足 dc(permd) ≥ (d−1)^2 + 1，优于先前的 d²/2 下界。
• 一般齐次多项式（次数为 2k）的双多项式秩至少为 k! D^k / 2(2k)!，表明存在超二次下界的潜力。
• 当 k=1 时，该方法恢复并强化了 Mignon 和 Ressayre 基于 Hessian 的下界。
• 该方法为通过关注高阶导数（如四阶导数）来攻破解永久多项式与行列式问题提供了新策略，可用于建立 Ω(d^4) 下界。
• 通过多面体极点构造的计算证书可确保：若所有 X ∈ Xp ∩ Psd_n 的 n−r 个最小特征值之和为正，则 b-rank(p) > r/2。