[论文解读] A Quadtree, a Steiner Spanner, and Approximate Nearest Neighbours in Hyperbolic Space

‪Sándor Kisfaludi-Bak, Geert van Wordragen|arXiv (Cornell University)|May 2, 2023

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 2

一句话总结

本文引入了一种双曲四叉树数据结构和一种L-排序方案，作为欧几里得四叉树和Z-排序在双曲空间中的自然类比。利用这些结构，作者构建了一个具有$O_{d,ε}(n)$条边的动态Steiner斯坦图，实现了$(1+\varepsilon)$-拉伸比，从而在$O_{d,ε}(\log n)$时间内支持最优的近似最近邻查询，并支持动态更新，所有操作均在近乎线性的时间内完成构造。

ABSTRACT

We propose a data structure in d-dimensional hyperbolic space that can be considered a natural counterpart to quadtrees in Euclidean spaces. Based on this data structure we propose a so-called L-order for hyperbolic point sets, which is an extension of the Z-order defined in Euclidean spaces. Using these quadtrees and the L-order we build geometric spanners. Near-linear size (1+ε)-spanners do not exist in hyperbolic spaces, but we create a Steiner spanner that achieves a spanning ratio of 1+ε with O_{d,ε}(n) edges, using a simple construction that can be maintained dynamically. As a corollary we also get a (2+ε)-spanner (in the classical sense) of the same size, where the spanning ratio 2+ε is almost optimal among spanners of subquadratic size. Finally, we show that our Steiner spanner directly provides an elegant solution to the approximate nearest neighbour problem: given a point set P in d-dimensional hyperbolic space we build the data structure in O_{d,ε}(nlog n) time, using O_{d,ε}(n) space. Then for any query point q we can find a point p ∈ P that is at most 1+ε times farther from q than its nearest neighbour in P in O_{d,ε}(log n) time. Moreover, the data structure is dynamic and can handle point insertions and deletions with update time O_{d,ε}(log n). This is the first dynamic nearest neighbour data structure in hyperbolic space with proven efficiency guarantees.

研究动机与目标

• 开发一种双曲空间中的四叉树，作为欧几里得四叉树的双曲类比，以支持分层空间划分。
• 定义一种双曲空间点集的L-排序，类比于欧几里得空间中的Z-排序。
• 在$d$维双曲空间中，构建一个具有$O_{d,\varepsilon}(n)$条边、拉伸比为$(1+\varepsilon)$的动态Steiner斯坦图。
• 实现高效的近似最近邻搜索，查询时间为$O_{d,\varepsilon}(\log n)$，构造时间为$O_{d,\varepsilon}(n \log n)$。
• 支持动态点插入与删除操作，每次更新时间复杂度为$O_{d,\varepsilon}(\log n)$。

提出的方法

• 基于测地线距离和水平面，设计一种基于分层单元分解的双曲空间四叉树，通过递归细分单元实现。
• 将L-排序定义为Z-排序在双曲空间的扩展，利用四叉树的分层结构对点进行空间排序。
• 通过向四叉树结构中添加Steiner点，构建Steiner斯坦图，确保所有原始点对之间均存在路径，且路径拉伸比不超过$1+\varepsilon$。
• 利用四叉树和L-排序构建类似分离对分解的结构，即使在双曲空间非Doubling的条件下，也能实现斯坦图的构造。
• 通过在斯坦图图上进行分层遍历，实现快速搜索，从而利用斯坦图解决近似最近邻问题。
• 通过在$O_{d,\varepsilon}(\log n)$时间内更新四叉树和斯坦图结构，实现动态操作（插入与删除）。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管双曲空间具有非Doubling和非等距的特性，是否仍可构建出一种自然的双曲四叉树类比？
• RQ2 是否可以定义一种双曲空间中Z-排序曲线的类比（即L-排序），以支持高效的空序排序与数据结构构建？
• RQ3 是否可在双曲空间中构建一个具有$(1+\varepsilon)$-拉伸比且大小接近线性的动态Steiner斯坦图？
• RQ4 此类斯坦图是否可用于实现双曲空间中近乎最优的近似最近邻查询？
• RQ5 在高维双曲空间中，对于分布稀疏的点集，性能权衡如何？

主要发现

• 成功构建了双曲四叉树，支持分层空间划分，并可定义类比于欧几里得空间中Z-排序的L-排序。
• 在$d$维双曲空间中，构建了一个具有$O_{d,\varepsilon}(n)$条边的动态Steiner斯坦图，其拉伸比为$(1+\varepsilon)$。
• 斯坦图构造时间复杂度为$O_{d,\varepsilon}(n \log n)$，支持在$O_{d,\varepsilon}(\log n)$时间内进行动态点更新。
• 近似最近邻查询可在$O_{d,\varepsilon}(\log n)$时间内完成，且保证$(1+\varepsilon)$-近似精度。
• 该数据结构在$n$上的性能是最优的，且其渐近时间复杂度与欧几里得空间中局部敏感排序的性能边界一致。
• 对于较长距离，其对维度$d$的依赖性更弱，表明在高维空间中，对于分布稀疏的点集，其性能表现更优。