[论文解读] A qualitative explanation of the origin of torsional instability in suspension bridges

Elvise Berchio, Filippo Gazzola|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Vibration and Dynamic Analysis参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文通过识别由桥梁结构特性引起的内部共振，为悬索桥扭转失稳的突然发生提供了定性解释。利用将系统简化为希尔方程的有限维投影方法，作者推导出不稳定性的理论与数值阈值，解决了关于塔科马海峡大桥等桥梁扭转破坏起源的长期疑问。

ABSTRACT

We consider a mathematical model for the study of the dynamical behavior of suspension bridges. We show that internal resonances, which depend on the bridge structure only, are the origin of torsional instability. We obtain both theoretical and numerical estimates of the thresholds of instability. Our method is based on a finite dimensional projection of the phase space which reduces the stability analysis of the model to the stability of suitable Hill equations. This gives an answer to a long-standing question about the origin of torsional instability in suspension bridges.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于悬索桥扭转振动为何突然出现的疑问，如塔科马海峡大桥坍塌所示。
• 识别出仅依赖于结构参数的内部共振作为扭转失稳的根源，且与风等外部激励无关。
• 建立一个能捕捉缆索非线性行为（包括松弛）的数学模型，以实现更真实的稳定性分析。
• 将桥梁模型的复杂偏微分方程组简化为希尔方程系统，以实现可处理的稳定性分析。
• 推导出第一和第二阶竖向模态中扭转失稳发生的精确理论与数值阈值。

提出的方法

• 将悬索桥建模为‘鱼骨’结构：两端铰接的梁，其横截面可旋转以代表桥面。
• 建立竖向位移 $ y $ 与扭转角 $ \theta $ 的非线性偏微分方程耦合系统，引入预应力缆索产生的非线性恢复力。
• 采用基于梁的特征函数的有限维伽辽金投影，将PDE系统简化为模态振幅的常微分方程组。
• 聚焦于对应于竖向模态的周期解的稳定性，将投影限制在第一和第二阶竖向模态，以分析共振效应。
• 将投影系统稳定性分析简化为希尔型方程的稳定性分析，利用已知准则（如朱可夫斯基准则）。
• 通过引理4中的显式三角恒等式计算模态间的耦合系数，从而推导出投影后的常微分方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 悬索桥为何在塔科马海峡大桥坍塌中突然从竖向振动转变为扭转振动？
• RQ2 在无外部激励（如风）的情况下，扭转失稳是否可由内部共振引起？
• RQ3 第一和第二阶竖向模态中，触发扭转失稳的精确结构与动力学阈值是什么？
• RQ4 非线性缆索力（尤其是松弛）如何促进扭转失稳的出现？
• RQ5 在模态投影后，系统的稳定性是否可简化为希尔方程的分析？

主要发现

• 仅由桥梁结构参数引发的内部共振被确定为扭转失稳的根本原因，且与外部风力无关。
• 对于第一阶竖向模态，扭转稳定的充分条件为 $ E \leq \frac{38}{3} $ 且 $ \|\overline{y}_1\|_{\infty} \leq \frac{2}{\sqrt{3}} $，该条件由希尔方程稳定性准则推导得出。
• 对于第二阶竖向模态，由于投影系统中耦合更强，需满足更严格的条件 $ E \leq \frac{5024}{867} $ 且 $ \|\overline{y}_2\|_{\infty} \leq \sqrt{\frac{32}{51}} $ 才能保证稳定。
• 分析证实，缆索的非线性行为（尤其是松弛）可实现竖向与扭转模态之间的耦合，这对失稳的出现至关重要。
• 该方法成功地将无限维PDE系统简化为有限维希尔方程系统，从而能够推导出严格的稳定性阈值。
• 通过朱可夫斯基准则推导出的希尔方程稳定性理论边界，比其他估计更为严格，提供了更紧致的稳定性阈值。