[论文解读] A Quantitative Doignon-Bell-Scarf Theorem

Iskander Aliev, Robert Bassett+2 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文提出了Doignon-Bell-Scarf定理的定量推广，证明了对于任意包含恰好k个整数点的n维空间中的多面体，存在一个至多包含c(n,k)条不等式的子集——其中c(n,k)是仅依赖于n和k的通用常数——能够保留全部k个整数点。关键结果建立了c(n,k)的上界：c(n,k) ≤ ⌈2(k+1)/3⌉2ⁿ − 2⌈2(k+1)/3⌉ + 2，且在k=1时该界是紧致的，此时c(n,1) = 2(2ⁿ−1)。

ABSTRACT

The famous Doignon-Bell-Scarf Theorem is a Helly-type result about the existence of integer solutions on systems of linear inequalities. The purpose of this paper is to present the following quantitative generalization: Given an integer $k$, we prove that there exists a constant $c(n,k)$, depending only on the dimension $n$ and $k$, such that if a polyhedron ${x: Ax \leq b}$ contains exactly k integer solutions, then there exists a subset of the rows, of cardinality no more than $c(n,k)$, defining a polyhedron that contains exactly the same $k$ integer points. In this case $c(n,0) = 2^n$ is the original case of Doignon-Bell-Scarf for infeasible systems of inequalities. We work on both upper and lower bounds for the constant $c(n,k)$ and discuss some consequences, including a Clarkson-style algorithm to find the $l$-th best solution of an integer program with respect to the ordering induced by the objective function.

研究动机与目标

• 将经典的Doignon-Bell-Scarf定理推广到定量设定，分析恰好包含k个整数点的多面体。
• 建立一个仅依赖于维度n和整数个数k的通用常数c(n,k)，使得至多c(n,k)条不等式的子集可保留全部k个整数点。
• 推导出c(n,k)的显式上下界，特别是证明在k=1时界是紧致的。
• 将结果应用于设计一种Clarkson风格的算法，以实现子指数依赖于维度和l的整数规划中第l个最优解的计算。
• 将理论扩展至违规者空间，并为在固定维度下寻找多个可行解提供复杂度界。

提出的方法

• 通过引入计数论证和组合几何，推广原始Doignon-Bell-Scarf证明技术，以处理恰好包含k个整数点的多面体。
• 通过构造一个恰好包含一个内部整数点且具有2(2ⁿ−1)个面的多面体（每个面在其相对内部贡献一个唯一的整数点）来建立下界。
• 应用违规者空间理论和黑箱查询机制，设计一种概率算法以寻找第l个最优整数解。
• 利用Eisenbrand在固定维度下的整数规划算法，以每个查询O(ls)的时间回答基本查询，其中s为位复杂度。
• 利用有理生成函数和凸几何支持理论复杂度界，并将结果扩展至凸集族。
• 通过分析保留整数点集的不等式子集的组合性质，推导出上界c(n,k) ≤ ⌈2(k+1)/3⌉2ⁿ − 2⌈2(k+1)/3⌉ + 2。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界n维多面体中，为保留恰好k个整数点，最少需要多少条不等式？
• RQ2 经典的Doignon-Bell-Scarf定理能否被扩展为一个定量版本，以涵盖具有固定非零整数点数的多面体？
• RQ3 上界c(n,k) ≤ ⌈2(k+1)/3⌉2ⁿ − 2⌈2(k+1)/3⌉ + 2是否对所有k都紧致，还是仅对特定值如k=1成立？
• RQ4 如何将定量的Doignon-Bell-Scarf结果应用于高效计算整数规划中的第l个最优解？
• RQ5 使用该定理计算第l个最优解的复杂度是多少，特别是在固定维度下？

主要发现

• 本文证明，对于任意ℝⁿ中恰好包含k个整数点的多面体，存在一个至多包含c(n,k)条不等式的子集，可保留全部k个整数点，其中c(n,k)是仅依赖于n和k的通用常数。
• 当k=1时，该界是紧致的：c(n,1) = 2(2ⁿ−1)，通过构造一个恰好包含一个内部整数点且具有2(2ⁿ−1)个面的多面体证明，每个面对于保留该整数点都是必要的。
• 上界为c(n,k) ≤ ⌈2(k+1)/3⌉2ⁿ − 2⌈2(k+1)/3⌉ + 2，该界优于早期结果，且在k=1时被证明为紧致。
• 该结果使得能够设计一种Clarkson风格的算法，用于在整数规划中寻找第l个最优解，其期望运行时间为O((ls)(c(n,l)m + c(n,l)^{O(c(n,l))}))次操作。
• 对于固定维度n和常数l，该算法在输入规模上为多项式时间，且对l和维度具有亚指数依赖性。
• 该方法适用于违规者空间，并使用黑箱基本查询机制，每个查询通过Eisenbrand在固定维度下的整数规划算法在O(ls)时间内回答。