[论文解读] A quantitative relative index theorem and Gromov's conjectures on positive scalar curvature

Zhizhang Xie|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文建立了一个定量相对指标定理，为解决格罗莫夫关于正数量曲率的猜想提供了概念性框架。它证明了在移除某些子集后的球面和半球面上，黎曼度量的渐近最优 λ-Lipschitz 刚性定理，并为格罗莫夫的 □^{n-m} 不等式及相关几何约束（如黎曼立方体和带的宽度）导出了次优但有效的界。

ABSTRACT

In this paper, we prove a quantitative relative index theorem. It provides a conceptual framework for studying some conjectures and open questions of Gromov on positive scalar curvature. More precisely, we prove a $λ$-Lipschitz rigidity theorem for (possibly incomplete) Riemannian metrics on spheres with certain types of subsets removed. This $λ$-Lipschitz rigidity theorem is asymptotically optimal. As a consequence, we obtain an asymptotically optimal $λ$-Lipschitz rigidity theorem for positive scalar curvature metrics on hemispheres. These give positive answers to the corresponding open questions raised by Gromov. As another application, we prove Gromov's $\square^{n-m}$ inequality on the bound of distances between opposite faces of spin manifolds with cube-like boundaries with a suboptimal constant. As immediate consequences, this implies Gromov's cube inequality on the bound of widths of Riemannian cubes and Gromov's conjecture on the bound of widths of Riemannian bands with suboptimal constants. Further geometric applications will be discussed in a forthcoming paper.

研究动机与目标

• 基于定量相对指标定理，建立一个用于研究格罗莫夫关于正数量曲率猜想的概念性框架。
• 证明在移除某些子集后的球面和半球面上，黎曼度量的渐近最优 λ-Lipschitz 刚性定理。
• 为具有立方体状边界的空间的自旋流形上格罗莫夫的 □^{n-m} 不等式建立次优但有效的距离界。
• 将这些结果推广，以推导黎曼立方体和带的宽度界，从而以次优常数确认格罗莫夫的猜想。
• 为定量指标定理中的普遍常数 C 提供数值估计，通过优化正规化函数改进先前的界。

提出的方法

• 为带有边界的黎曼流形的伽罗瓦覆叠构造定量相对指标定理，使用最大群 C*-代数和高阶指标。
• 将该定理应用于移除子集后的黎曼流形，假设补集的 r-邻域内具有等距且 Clifford 兼容的数据。
• 通过狄拉克算子平方中的曲率项 D_j^2 = ∇*∇ + R_j 对移除子集施加曲率条件。
• 使用傅里叶变换支集在 [-2,2] 内的正规化函数 χ 来控制谱性质，并推导普遍常数 C 的界。
• 采用偶函数、紧支集的函数 f 进行数值优化，以最小化 σ，使得 χ_f(x) ≈ 1 对于 x ≥ σ，且 χ_f(x) ≈ -1 对于 x ≤ -σ。
• 将问题约化为求解三角多项式逼近 f 的线性不等式组，从而实现 σ 和改进后 C-估计的数值计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个定量相对指标定理，以解决格罗莫夫关于正数量曲率的猜想？
• RQ2 在移除子集后的球面度量上，λ-Lipschitz 刚性定理是否渐近最优？
• RQ3 能否利用所提出的框架，以次优常数证明格罗莫夫的 □^{n-m} 不等式？
• RQ4 定量指标定理中普遍常数 C 的最佳可能数值估计是什么？
• RQ5 该框架能否推广以推导黎曼立方体和带的宽度界？

主要发现

• 本文证明了对于（可能不完备的）在移除某些子集后的球面上的黎曼度量，其 λ-Lipschitz 刚性定理为渐近最优。
• 在半球面上的正数量曲率度量上，建立了渐近最优的 λ-Lipschitz 刚性定理。
• 定量相对指标定理表明：当 σ·r > C 时，有 Ind_Γ( D̃₁ ) - Ind_Γ( D̃₂ ) = 0 在 KO_n(C_max*(Γ;ℝ)) 中成立，其中使用标准正规化函数时 C ≤ 86.0463。
• 通过优化正规化函数，改进的数值估计将界降至 C ≤ 40.65，且在逼近方案中对 n=50 可实现 σ ≈ 1.355。
• 该框架为格罗莫夫的 □^{n-m} 不等式提供了次优常数，确认了该不等式在 C ≤ 40.65 下成立。
• 作为直接推论，本文以次优常数证明了格罗莫夫的立方体不等式及带宽猜想，与主定理一致。