[论文解读] A quantitative stability result for the Prékopa-Leindler inequality for arbitrary measurable functions

Károly J. Böröczky, Alessio Figalli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2022

Advanced Topology and Set Theory被引用 1

一句话总结

本文在所有维度下，针对任意可测函数，建立了普雷科帕–莱因德勒不等式的定量稳定性估计，证明了几乎满足该不等式的函数在乘法和缩放下必定接近于同一个对数凹函数。该结果提供了可计算的常数，并将稳定性理论从凸集推广至一般可测函数。

ABSTRACT

We prove that if a triplet of functions satisfies almost equality in the Prékopa-Leindler inequality, then these functions are close to a common log-concave function, up to multiplication and rescaling. Our result holds for general measurable functions in all dimensions, and provides a quantitative stability estimate with computable constants.

研究动机与目标

• 建立当等式几乎被达到时，普雷科帕–莱因德勒不等式的定量稳定性结果。
• 将稳定性分析从凸集推广至任意维度下的普遍可测函数。
• 以不等式缺陷为基准，提供到同一对数凹函数距离的显式、可计算界。
• 将现有对布伦–闵可夫斯基及普雷科帕–莱因德勒不等式的稳定性结果推广至非凸、可测函数情形。
• 解决几乎极值函数在缩放与平移下必须多接近于同一对数凹函数的问题。

提出的方法

• 使用次水平集技术，将函数稳定性与 R^n+1 中上水平集的几何性质关联起来。
• 通过上水平集的逐点上确界构造辅助对数凹函数 ˜f, ˜g, 和 ˜h，以逼近原函数。
• 应用富比尼定理，通过在上水平集上积分来计算函数之间的 L1 距离。
• 运用切比雪夫不等式，选取一个水平 s0，使得上水平集的对称差较小。
• 在选定高度 s0 处截断函数，生成具有受控 L1 误差的新对数凹逼近函数 ˜f1, ˜g1, ˜h1。
• 利用普雷科帕–莱因德勒不等式的结构及三角不等式，界定原函数与逼近函数之间总 L1 距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 若三个可测函数几乎满足普雷科帕–莱因德勒不等式，它们必须在多大程度上接近于同一个对数凹函数？
• RQ2 能否为普雷科帕–莱因德勒不等式建立适用于任意可测函数（而不仅指示函数或对数凹函数）的定量稳定性估计？
• RQ3 在高维情形下，普雷科帕–莱因德勒不等式稳定性估计中的显式、可计算常数是什么？
• RQ4 稳定性误差如何随不等式缺陷及控制与等式距离的参数 τ 变化？
• RQ5 能否在保持 L1 范数与上水平集差异的定量控制下，将稳定性结果推广至非凸可测函数？

主要发现

• 若三个可测函数几乎满足普雷科帕–莱因德勒不等式，则在缩放和平移后，其与同一对数凹函数的 L1 距离为 τ^{-N'_n} ε^{γ_n(τ) Q(τ)/16} |log ε|^{ρ_n(τ)} 阶，其中常数显式可计算。
• 该稳定性估计适用于所有维度 n ≥ 2，且对任意可测函数成立，不仅限于凸函数或对数凹函数。
• 稳定性界中的常数显式可计算，其中 γ_n(τ) = τ^{3n}/(2^{3n+1} n^{3n} |log τ|^{3n})，而 N'_n 仅依赖于 n。
• 缺陷 ε 必须足够小，具体为 ε < c_n e^{-M_n(τ)}，其中 M_n(τ) 与 |log τ| 成正比，且与 An(τ)、ρ_n(τ) 和 Q(τ) 的比值相关。
• 该结果优于先前的稳定性估计，因其控制的是原函数与共同对数凹函数之间的对称差，而不仅限于函数之间的对称差。
• 在足够小的 ε 条件下，对共同对数凹函数的 L1 距离最终界为 τ^{-N'_n - n - 1} ε^{γ_n(τ) Q(τ)/32} |log ε|^{ρ_n(τ)} 阶，所有常数均显式可计算。