[论文解读] A quantitative version of James' compactness theorem

B. Cascales, Ondřej F. K. Kalenda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入了两个新的弱非紧性度量 $`\operatorname{Ja_E}(H)`$ 和 $`\operatorname{Ja}(H)`$，分别量化了在巴拿赫空间 $E$ 中，有界集 $H$ 的弱*极限到 $E$ 和 $H$ 的距离。本文证明了詹姆斯紧性定理的定量版本，表明若一个闭凸有界集 $C$ 的弱*闭包与 $C$ 之间的距离为正，则存在一个泛函 $x^*\in E^*$，使得 $x^*$ 的任意弱*最大值点与 $E$ 的距离至少为 $r/2$，从而建立了多个弱非紧性度量之间的等价性。

ABSTRACT

We introduce two measures of weak non-compactness $Ja_E$ and $Ja$ that quantify, via distances, the idea of boundary behind James' compactness theorem. These measures tell us, for a bounded subset $C$ of a Banach space $E$ and for given $x^*\in E^*$, how far from $E$ or $C$ one needs to go to find $x^{**}\in \bar{C}^{w^*}\subset E^{**}$ with $x^{**}(x^*)=\sup x^* (C)$. A quantitative version of James' compactness theorem is proved using $Ja_E$ and $Ja$, and in particular it yields the following result: {\it Let $C$ be a closed convex bounded subset of a Banach space $E$ and $r>0$. If there is an element $x_0^{**}$ in $\bar{C}^{w^*}$ whose distance to $C$ is greater than $r$, then there is $x^*\in E^*$ such that each $x^{**}\in\bar{C}^{w^*}$ at which $\sup x^*(C)$ is attained has distance to $E$ greater than $r/2$.} We indeed establish that $Ja_E$ and $Ja$ are equivalent to other measures of weak non-compactness studied in the literature. We also collect particular cases and examples showing when the inequalities between the different measures of weak non-compactness can be equalities and when the inequalities are sharp.

研究动机与目标

• 开发能够捕捉詹姆斯紧性定理中边界行为的弱非紧性定量度量。
• 建立詹姆斯经典紧性定理的定量强化版本，将弱紧性的失败与泛函在双对偶中仅在非嵌入点处达到上确界的事实联系起来。
• 比较并关联新度量 $\operatorname{Ja_E}(H)$ 和 $\operatorname{Ja}(H)$ 与现有弱非紧性度量（如 $\widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ 和 $\widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, E)$）之间的关系。

提出的方法

• 将 $\operatorname{Ja_E}(H)$ 定义为满足如下条件的 $\varepsilon > 0$ 的下确界：对每个 $x^* \in E^*$，存在 $x^{**} \in \overline{H}^{w^*}$，使得 $x^{**}(x^*) = \sup x^*(H)$ 且 $\operatorname{dist}(x^{**}, E) \leq \varepsilon$。
• 将 $\operatorname{Ja}(H)$ 定义为满足如下条件的 $\varepsilon > 0$ 的下确界：对每个 $x^* \in E^*$，存在 $x^{**} \in \overline{H}^{w^*}$，使得 $x^{**}(x^*) = \sup x^*(H)$ 且 $\operatorname{dist}(x^{**}, H) \leq \varepsilon$。
• 证明对任意巴拿赫空间 $E$ 中的闭凸有界集 $C$，有 $\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$，从而建立一个定量下界。
• 利用弱*序列紧性和对角化论证，构造泛函与元素的序列，以揭示弱紧性失败的证据并验证下界。
• 在 $c_0(\Gamma)$ 中，证明所有标准弱非紧性度量（包括 $\gamma_0(H)$、$\operatorname{Ja_E}(H)$、$\operatorname{ck_E}(H)$ 和 $\gamma(H)$）对任意有界集 $H \subset E$ 均相等，从而在特殊情形下展示紧致性与等式。
• 通过一系列不等式链和反例，证明所有考虑的弱非紧性度量之间等价，且边界为最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过测量弱*最大值点到原空间或原集的距离，来定量地强化詹姆斯紧性定理？
• RQ2 一个集合的闭包到原空间的弱*距离与泛函的上确界仅在非自反点处达到之间，是否存在精确的定量关系？
• RQ3 新度量 $\operatorname{Ja_E}(H)$ 和 $\operatorname{Ja}(H)$ 是否与经典弱非紧性度量（如 $\widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$ 和 $\gamma(H)$）等价？
• RQ4 在哪些巴拿赫空间中，所有弱非紧性度量相等？其结构特性如何促成这种等式？
• RQ5 不同弱非紧性度量之间的不等式是否可能为最优？哪些例子能证明这一点？

主要发现

• 本文证明了对任意巴拿赫空间 $E$ 中的闭凸有界集 $C$，有 $\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$，从而提供了詹姆斯定理的定量版本。
• 在空间 $c_0(\Gamma)$ 中，所有标准弱非紧性度量（包括 $\gamma_0(H)$、$\operatorname{Ja_E}(H)$、$\operatorname{ck_E}(H)$ 和 $\gamma(H)$）对任意有界集 $H \subset E$ 均相等，展示了在典型非自反空间中的等式。
• 在一般条件下，度量 $\operatorname{Ja_E}(H)$ 和 $\operatorname{Ja}(H)$ 被证明与其它已知弱非紧性度量（如 $\gamma(H)$、$\operatorname{ck_E}(H)$ 和 $\widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$）等价。
• 本文构造了例子，表明不等式 $\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ 是紧的，且在某些情况下可取等号。
• 对于具有科森性质 $\mathcal{C}$ 的可分巴拿赫空间，有 $\operatorname{ck_E}(H) = \widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$，本文表明在这些空间中，度量之间的不等式可能严格成立，除非可能 $\operatorname{Ja}(C) \leq \operatorname{ck}(C)$。
• 本文确立了 $\gamma_0(H) \geq \gamma(H)$，且在 $c_0(\Gamma)$ 中等式成立，确认新度量与现有理论一致，并为弱非紧性提供统一框架。