[论文解读] A Quantum Algorithm for finding the Maximum

Ashish Ahuja, Sanjiv Kapoor|ArXiv.org|Nov 18, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 42

一句话总结

本文提出了一种量子算法，使用Grover搜索算法在O(√N)次查询内找到一个包含N个不同元素的无序数组中的最大值。通过使用量子振幅放大技术迭代改进猜测，该算法实现了6.8√N次查询的紧致上界，优于先前的界限，并与Dürr和Høyer的最小值查找算法的复杂度相匹配。

ABSTRACT

This paper describes a quantum algorithm for finding the maximum among N items. The classical method for the same problem takes O(N) steps because we need to compare two numbers in one step. This algorithm takes O(sqrt(N)) steps by exploiting the property of quantum states to exist in a superposition of states and hence performing an operation on a number of elements in one go. A tight upper bound of 6.8(sqrt(N)) for the number of steps needed using this algorithm was found. These steps are the number of queries made to the oracle.

研究动机与目标

• 开发一种高效的量子算法，用于在包含N个不同元素的无序数组中找到最大元素。
• 利用量子叠加和振幅放大技术，超越经典O(N)比较方法。
• 为使用量子技术进行最大值查找所需查询次数提供紧致的解析上界。
• 证明量子方法在最大值查找问题上相对于经典算法实现了二次加速。

提出的方法

• 该算法从最大元素索引的随机初始猜测开始。
• 使用Grover算法查找大于当前猜测的元素，将大于当前猜测的元素视为'标记'状态。
• Oracle函数f_y(x)在T[x] > T[y]时标记索引x，其中y为当前猜测。
• 每次Grover迭代后，测量结果将当前猜测更新为新找到的更高值的索引。
• 该过程重复O(√N)次，每次迭代减少未标记候选者的数量。
• 通过推导预期迭代次数的递推关系，结合积分近似和渐近分析，得出紧致上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子计算能否为在无序数组中查找最大值的问题提供二次加速？
• RQ2 使用量子振幅放大技术查找最大值所需查询次数的最紧可能上界是什么？
• RQ3 在查询复杂度方面，迭代式量子最大值查找方法与经典比较方法相比如何？
• RQ4 能否使用递推关系和积分近似技术对预期迭代次数进行解析界定？

主要发现

• 该算法实现了O(√N)的查询复杂度，相较于经典O(N)方法实现了二次加速。
• 确定了查找最大值所需迭代次数的紧致上界为6.8√N次查询。
• 该上界通过预期迭代次数的递推关系和积分近似推导得出，优于先前的15√N界限。
• 该算法被证明与Dürr和Høyer的最小值查找算法等价，证实了其结构上的最优性。
• 将该算法重复k次可使失败概率降低至1/k以下，通过额外的O(log N)因子获得高概率界。