[论文解读] A quantum algorithm for simulating non-sparse Hamiltonians

Chunhao Wang, Leonard Wossnig|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于量子随机存取内存（qRAM）输入模型的量子算法，用于模拟非稀疏哈密顿量，实现了对精度的对数多边形依赖。通过将量子行走的线性组合与qRAM中存储的哈密顿量项的高效态制备相结合，该算法实现了时间复杂度 $ O(t\|H\| \sqrt{N} \, \mathrm{polylog}(N,t\|H\|,1/\epsilon)) $，在精度扩展方面相比先前方法有显著改进。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for simulating the dynamics of Hamiltonians that are not necessarily sparse. Our algorithm is based on the input model where the entries of the Hamiltonian are stored in a data structure in a quantum random access memory (qRAM) which allows for the efficient preparation of states that encode the rows of the Hamiltonian. We use a linear combination of quantum walks to achieve poly-logarithmic dependence on precision. The time complexity of our algorithm, measured in terms of the circuit depth, is $O(t\sqrt{N}\|H\|\,\mathrm{polylog}(N, t\|H\|, 1/ε))$, where $t$ is the evolution time, $N$ is the dimension of the system, and $ε$ is the error in the final state, which we call precision. Our algorithm can be directly applied as a subroutine for unitary implementation and quantum linear systems solvers, achieving $\widetilde{O}(\sqrt{N})$ dependence for both applications.

研究动机与目标

• 开发一种用于模拟非稀疏哈密顿量时间演化过程的量子算法，这些哈密顿量在传统稀疏访问模型中无法被高效表示。
• 解决在标准稀疏访问或局部哈密顿量模型不适用的密集或非稀疏哈密顿量模拟挑战。
• 实现对精度具有对数多边形依赖的时间复杂度，优于现有哈密顿量模拟的量子算法。
• 在qRAM模型中实现高效的量子线性系统求解器和酉算符实现，系统维度的依赖关系为 $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $。

提出的方法

• 该算法使用qRAM数据结构存储哈密顿量项，从而实现对编码哈密顿量行的量子态的高效制备。
• 采用量子行走的线性组合（LCU）方法来模拟时间演化 $ e^{-iHt} $，利用对哈密顿量行的叠加态制备能力。
• 该方法构建一个编码哈密顿量结构的量子行走算符 $ U $，每行的态制备成本为 $ O(\mathrm{polylog}(N)) $。
• 通过贝塞尔函数逼近和截断级数展开来实现演化算符，控制误差，确保 $ \epsilon $-精度。
• 该算法将量子行走分段执行，每段模拟 $ e^{-iH/(2\|H\|_1)} $，并重复 $ O(t\|H\|_1) $ 次以实现总演化时间 $ t $。
• 线性组合的系数通过经典方法预先计算，每段成本为 $ O(k) $，其中 $ k \sim \log(t\|H\|/\epsilon)/\log\log(t\|H\|/\epsilon) $。

Figure 1: A example of the data structure that allows for efficient state preparation using a logarithmic number of conditional rotations.

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用基于qRAM的输入模型高效模拟非稀疏哈密顿量，其中哈密顿量项存储在量子可访问的数据结构中？
• RQ2 是否可能在密集或非稀疏哈密顿量的模拟中实现对精度的对数多边形依赖？
• RQ3 能否将量子行走线性组合技术适配为与qRAM制备的态协同工作，而非依赖稀疏访问预言机？
• RQ4 与现有哈密顿量模拟量子算法相比，该算法在系统尺寸 $ N $、演化时间 $ t $ 和精度 $ \epsilon $ 方面的时间复杂度如何？
• RQ5 该算法是否可作为子程序，用于改进qRAM模型中的量子线性系统求解器和酉算符实现？

主要发现

• 该算法实现了时间复杂度 $ O(t\|H\| \sqrt{N} \, \mathrm{polylog}(N,t\|H\|,1/\epsilon)) $，对系统维度 $ N $ 的依赖为 $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $，这对非稀疏哈密顿量而言是最优的。
• 精度依赖为对数多边形，具体为 $ \mathrm{polylog}(t\|H\|,1/\epsilon) $，相比以往具有指数精度依赖的量子算法有显著改进。
• 该算法在qRAM模型中实现了对维度 $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $ 且具有对数多边形精度依赖的量子线性系统求解器，相比先前工作实现了指数级改进。
• 哈密顿量行的态制备在 $ O(\mathrm{polylog}(N)) $ 时间内完成，从而实现了对量子行走构建所需叠加态的高效访问。
• 该方法使用截断的贝塞尔函数级数和经典预计算的系数，以有界误差实现量子行走的线性组合。
• 该算法继承了qRAM的局限性，如高物理资源开销和严格的误差率要求，但对线性回归和线性系统等问题相比经典算法实现了多项式加速。