[论文解读] A Quantum Approach to Subset-Sum and Similar Problems

Ammar Daskin|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2017

Artificial Intelligence in Games被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于相位估计算法和幅值放大技术的量子启发式方法，用于求解子集和问题，其灵感来源于量子阿瑟-梅林游戏。在特定假设下——即可行子集和与不可行子集和的比例为多项式，且关键量子比特测量概率不呈指数级衰减——该方法可在多项式时间内获得精确解，表明对于某些实例，其相对于经典算法具有潜在的指数级加速优势。

ABSTRACT

In this paper, we study the subset-sum problem by using a quantum heuristic approach similar to the verification circuit of quantum Arthur-Merlin games. Under described certain assumptions, we show that the exact solution of the subset sum problem my be obtained in polynomial time and the exponential speed-up over the classical algorithms may be possible. We give a numerical example and discuss the complexity of the approach and its further application to the knapsack problem.

研究动机与目标

• 在特定结构假设下，开发一种可在多项式时间内求解 NP-完全子集和问题的量子算法。
• 探索量子算法是否能为子集和问题及其相关问题（如0-1背包问题）提供相对于经典方法的指数级加速。
• 研究是否可利用受阿瑟-梅林游戏启发的量子验证电路，引导幅值放大朝最优解方向进行。
• 确定通过顺序量子比特测量与幅值放大实现量子最大值查找时，能在高概率下获得精确解的条件。

提出的方法

• 该方法利用相位估计算法，生成所有可能子集和的叠加态，这些子集和被编码为酉算符的本征相位。
• 应用幅值放大技术，标记并增强对应于子集和小于目标值 W 的状态，从而聚焦于可行解。
• 采用顺序测量策略，从最高有效位开始，逐步将态坍缩至最大可行和。
• 在每次测量一个量子比特后，应用幅值放大以提高下一位量子比特测量到正确比特值的概率，确保成功概率不呈指数级衰减。
• 该算法利用输入分布的结构特征引导搜索，假设最大可行和的二进制表示中，正确比特值的概率至少为 1/poly(n)。
• 通过调整相位估计算法与幅值放大框架，该方法可推广至其他 NP-完全问题，如 0-1 背包问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在关于可行解分布的合理假设下，基于相位估计算法与幅值放大技术的量子算法是否能在多项式时间内求解子集和问题？
• RQ2 在什么条件下，最大可行和的二进制表示中，正确比特值的测量概率能避免指数衰减？
• RQ3 当可行解数量不显著少于不可行解数量时，所提出的量子启发式方法是否能为子集和问题提供相对于经典算法的指数级加速？
• RQ4 如何利用子集和问题的结构特征，在量子验证框架中引导搜索，以逼近最优解？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至其他 NP-完全问题，如 0-1 背包问题？

主要发现

• 在不可行子集和与可行子集和之比为 n 的多项式函数的假设下，该算法可在多项式时间内实现子集和问题的精确求解。
• 最大可行和的二进制表示中，每一位正确比特值的测量概率至少为 1/poly(n)，从而避免了成功概率的指数级衰减。
• 在数值示例中，经过迭代测量与幅值放大后，该算法以高概率成功识别出最大可行和为 0.1953125，对应于本征态 |0011000⟩。
• 该方法表明，当正确比特值的概率不呈指数级衰减时，通过顺序量子比特测量与幅值放大实现的量子最大值查找可获得精确解。
• 该方法显示出相对于经典算法的潜在指数级加速优势，尤其当可行解数量不呈指数级稀少时更为显著。
• 该框架可推广至其他 NP-完全问题，如 0-1 背包问题，表明该量子启发式方法具有更广泛的应用潜力。