[论文解读] A quantum compiler for qudits of prime dimension greater than 3

Luke Heyfron, Earl T. Campbell|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对维度为奇素数 d > 3 的量子位的量子编译器，通过相位多项式优化，最小化非 Clifford 的 M 门数量——其作用等同于量子比特电路中的 T 门。关键成果是实现了仅使用 4 个 M 门的 CCZ 门，优于量子比特系统中的标准 7 个 T 门实现，展示了基于量子位的量子计算在资源使用上的优势。

ABSTRACT

Prevailing proposals for the first generation of quantum computers make use of 2-level systems, or qubits, as the fundamental unit of quantum information. However, recent innovations in quantum error correction and magic state distillation protocols demonstrate that there are advantages of using d-level quantum systems, known as \emph{qudits}, over the qubit analogues. When designing a quantum architecture, it is crucial to consider protocols for compilation, the optimal conversion of high-level instructions used by programmers into low-level instructions interpreted by the machine. In this work, we present a general purpose automated compiler for multiqudit exact synthesis based on previous work on qubits that uses an algebraic representation of quantum circuits called phase polynomials. We assume Clifford gates are low-cost and aim to minimise the number of M gates in a Clifford+M circuit, where M is the qudit analog for the qubit T or pi/8 phase gate. A surprising result that showcases our compiler's capabilities is that we found a unitary implementation of the CCZ or Toffoli gate that uses 4 M gates, which compares to 7 T gates for the qubit analogue.

研究动机与目标

• 为解决 d > 3 的量子位缺乏高效量子编译器的问题，特别是针对非 Clifford 门的优化。
• 将基于相位多项式的编译技术从量子比特推广至维度为奇素数 d > 3 的量子位。
• 在 Clifford+M 电路中最小化昂贵的 M 门数量，其中 M 是 T 门在量子位中的对应物。
• 通过实现 CCZ 门的 M 门数量低于量子比特系统中的 T 门数量，证明实际的资源优势。

提出的方法

• 编译器使用相位多项式表示多量子位酉算符，实现代数化操作以进行优化。
• 将酉算符建模为在有限域 Z_d 上的多元多项式，其系数由门序列推导得出。
• 该方法应用重线性化技术，求解电路简化过程中产生的三次方程组。
• 通过引入新变量将三次项线性化，将问题转化为可通过零空间计算求解的线性代数系统。
• 该算法在系数矩阵 D 的零空间中搜索解，将搜索空间从 O(d^m) 降低至 O(d^μ)，其中 μ ≤ m。
• 通过检查解与原始三次约束的一致性，以及变量复制的条件 y_a - y_b = 1，对解进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于相位多项式的编译技术能否从量子比特推广至维度为奇素数 d > 3 的量子位？
• RQ2 在量子位 Clifford+M 框架中，对于 CCZ 等基本多量子位门，可实现的最小 M 门数量是多少？
• RQ3 对于奇素数 d > 3 的有限域 Z_d 的结构，是否能实现相较于量子比特对应物更高效的新门分解？
• RQ4 能否通过重线性化和零空间方法高效求解电路简化过程中产生的三次方程组？
• RQ5 在实现非 Clifford 门时，使用量子位是否相比量子比特具有资源优势，表现为门数量的减少？

主要发现

• 编译器成功仅使用 4 个 M 门实现了 CCZ 门，显著低于标准量子比特实现所需的 7 个 T 门。
• 这是首个已知在量子位系统中实现 CCZ 门且仅使用 4 个 M 门的酉算符实现，达到了极低的门数量。
• 该方法通过在 Z_d 上对相位多项式进行优化，实现了多量子位酉算符的精确合成，从而最小化 M 门数量。
• 重线性化技术降低了求解三次方程组的计算复杂度，实现了对解空间的更快搜索。
• 该方法表明，维度为奇素数 d > 3 的量子位在量子编译中可提供资源优势，尤其在多控制门方面。
• 该编译器为通用型，适用于任何需要非 Clifford 门优化的多量子位电路。