[论文解读] A Quantum IP Predictor-Corrector Algorithm for Linear Programming.

Pablo A. M. Casares, M. A. Martín-Delgado|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于密集线性规划的量子内点预测-校正算法，利用量子线性系统算法（QLSA）在变量数量上实现量子加速。该算法输出经典解向量和最优值，最坏情况下的复杂度为 $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$，忽略对数因子，当约束矩阵为密集时，相比经典方法有显著改进。

ABSTRACT

We introduce a new quantum optimization algorithm for dense Linear Programming problems, which can be seen as the quantization of the Interior Point Predictor-Corrector algorithm \cite{Predictor-Corrector} using a Quantum Linear System Algorithm \cite{DenseHHL}. The (worst case) work complexity of our method is, up to polylogarithmic factors, $O(L\sqrt{n}(n+m)\overline{||M||_F}\bar{\kappa}^2\epsilon^{-2})$ for $n$ the number of variables in the cost function, $m$ the number of constraints, $\epsilon^{-1}$ the target precision, $L$ the bit length of the input data, $\overline{||M||_F}$ an upper bound to the Frobenius norm of the linear systems of equations that appear, $||M||_F$, and $\bar{\kappa}$ an upper bound to the condition number $\kappa$ of those systems of equations. This represents a quantum speed-up in the number $n$ of variables in the cost function with respect to the comparable classical Interior Point algorithms when the initial matrix of the problem $A$ is dense: if we substitute the quantum part of the algorithm by classical algorithms such as Conjugate Gradient Descent, that would mean the whole algorithm has complexity $O(L\sqrt{n}(n+m)^2\bar{\kappa} \log(\epsilon^{-1}))$, or with exact methods, at least $O(L\sqrt{n}(n+m)^{2.373})$. Also, in contrast with any Quantum Linear System Algorithm, the algorithm described in this article outputs a classical description of the solution vector, and the value of the optimal solution.

研究动机与目标

• 开发一种用于密集线性规划的量子算法，实现对经典内点方法的加速。
• 将量子线性系统算法（QLSA）集成到经典预测-校正框架中以求解线性规划问题。
• 确保量子算法输出解向量和最优值的经典描述，而非仅输出量子态。
• 分析该量子算法在问题规模、精度和条件数方面的复杂度，并与经典方法进行比较。

提出的方法

• 通过将经典内点预测-校正方法中的经典线性系统求解替换为量子线性系统算法（QLSA），实现该方法的量子化。
• 利用QLSA求解预测-校正每一步中出现的线性方程组，从而在求解牛顿系统时实现量子加速。
• 通过控制线性系统的弗罗贝尼乌斯范数 $||M||_F$ 和条件数 $ar{\rho}$ 来限制误差和保证收敛性。
• 在整个算法过程中保持解的古典描述，确保输出可被经典后处理使用。
• 复杂度分析基于输入的比特长度 $L$、变量数 $n$、约束数 $m$、精度 $ar{\nu}^{-1}$ 和条件数 $ar{\rho}$。
• 该算法实现了 $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$ 的工作复杂度，忽略对数因子，其中 $ar{\rho}$ 是弗罗贝尼乌斯范数的上界，$ar{\tau}$ 是条件数的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 预测-校正内点方法能否被成功量子化，从而在求解密集线性规划问题时实现量子加速？
• RQ2 在预测-校正框架中使用QLSA求解密集线性规划的量子复杂度是多少？
• RQ3 该量子算法是否输出解向量和最优值的经典描述，而非仅输出量子态？
• RQ4 与共轭梯度下降或精确求解器等经典方法相比，该量子复杂度在 $n$ 上的依赖关系如何？
• RQ5 弗罗贝尼乌斯范数和条件数的上界在确保量子算法的正确性和效率方面起什么作用？

主要发现

• 所提出的量子算法在忽略对数因子的情况下，最坏情况下的工作复杂度为 $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$，其中 $ar{\rho}$ 限制了线性系统的弗罗贝尼乌斯范数，$ar{\tau}$ 限制了其条件数。
• 当约束矩阵 $A$ 为密集时，与经典内点方法相比，该算法在变量数 $n$ 上实现了量子加速。
• 当将量子部分替换为经典求解器（如共轭梯度下降）时，经典复杂度变为 $O(L\bar{\rho}(n+m)^2\bar{\tau}\bar{\nu}^{-1})$，显示出在 $n$ 上的显著差异。
• 该算法输出解向量和最优值的经典描述，这是相对于标准 QLSA 应用（仅输出量子态）的一项关键优势。
• 加速效果在 $n$ 的依赖关系上尤为显著：量子方法在 $n$ 上的复杂度为 $O(\bar{\rho}\bar{\tau}^2)$，而经典方法的复杂度为 $O((n+m)^2)$ 或更差。
• 该方法适用于密集线性规划问题，并为该类优化问题中的量子优势提供了明确路径。