[论文解读] A Quantum Optics Argument for the #P-hardness of a Class of Multidimensional Integrals

Peter P. Rohde, Dominic W. Berry+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Optical Network Technologies被引用 3

一句话总结

本文通过证明其与已知为#P难的矩阵永久值计算在计算上等价，确立了量子光学中出现的一类多维积分为#P难。作者通过相空间中的特征函数表达玻色采样输出振幅，表明计算这些积分的难度等同于计算永久值，从而为计算复杂性理论提供了一种新颖的量子物理启发方法。

ABSTRACT

Matrix permanents arise naturally in the context of linear optical networks fed with nonclassical states of light. In this letter we tie the computational complexity of a class of multi-dimensional integrals to the permanents of large matrices using a simple quantum optics argument. In this way we prove that evaluating integrals in this class is extbf{\#P}-hard. Our work provides a new approach for using methods from quantum physics to prove statements in computer science.

研究动机与目标

• 确立量子光学系统中出现的特定类多维积分的计算复杂性。
• 通过利用矩阵永久值已知的#P难性，证明这些积分的计算是#P难的。
• 提供一种利用量子光学工具（特别是相空间表示）分析计算复杂性的新方法。
• 表明玻色采样中基于永久值与基于积分的形式化之间的等价性，实现了量子物理与计算复杂性理论之间的交叉促进。
• 说明特殊情形（例如置换矩阵）对应的积分具有经典可高效计算的特性，与已知的永久值复杂性结果保持一致。

提出的方法

• 使用相空间中的量子光学特征函数形式化线性光学网络的输出振幅。
• 通过Wigner函数和高斯态表示，将输出态表示为复振幅α上的多维积分。
• 推导出给定光子数配置的概率振幅的显式积分表达式，该表达式与基于永久值的形式化等价。
• 通过对称化与高斯积分技术，建立积分形式与矩阵永久值之间的数学等价性。
• 利用已知的永久值计算的#P难性，推断出相应积分计算的#P难性。
• 分析特殊情形（例如置换矩阵），以表明积分可分离，从而实现经典高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子光学相空间形式化中出现的多维积分类的计算是否在计算上是困难的？
• RQ2 能否通过量子光学中的物理等价性，将矩阵永久值的#P难性传递到相应的积分类？
• RQ3 积分形式的结构如何反映底层永久值的计算复杂性？
• RQ4 积分中是否存在可识别的结构特征（例如可分离性），对应于永久值的经典可 tractable 情形？
• RQ5 能否系统性地使用量子光学工具推导出关于数学积分的复杂性理论结果？

主要发现

• 从玻色采样输出振幅的相空间表示导出的多维积分类，在最坏情况下计算是#P难的。
• 积分形式与基于永久值的形式化在数学上等价，由于永久值是#P难的，因此这些积分也是#P难的。
• 对于置换矩阵，积分变为可分离的，并精确等于1，确认此类情形在经典计算下是高效的——这与所有σ满足perm(σ) = 1的事实一致。
• 输出概率振幅的积分表达式为涉及|α_j|²与相空间变量乘积的多维高斯积分。
• 永久值与积分形式化之间的等价性是精确的，且对线性光学网络中所有输入态和酉变换均成立。
• 本工作表明，量子光学工具可作为新框架，用于证明关于数学问题的复杂性理论结论。