[论文解读] A quantum query algorithm for the graph collision problem

Dmitry Gavinsky, Tsuyoshi Ito|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新的量子查询算法来解决图冲突问题，其查询复杂度为 $ O(\sqrt{n} + \sqrt{\alpha^{*}(G)}) $，其中 $ \alpha^{*}(G) $ 是图 $ G $ 中任意独立集的最大度数之和。该算法在大多数随机图上实现了 $ \tilde{O}(\sqrt{n}) $ 的复杂度，与目前已知的最佳上界相比，仅相差一个 $ \sqrt{\log n} $ 因子。

ABSTRACT

We construct a new quantum algorithm for the graph collision problem; that is, the problem of deciding whether the set of marked vertices contains a pair of adjacent vertices in a known graph G. The query complexity of our algorithm is O(sqrt(n)+sqrt(alpha*(G))), where n is the number of vertices and alpha*(G) is the maximum total degree of the vertices in an independent set of G. Notably, if G is a random graph where every edge is present with a fixed probability independently of other edges, then our algorithm requires O(sqrt(n log n)) queries on most graphs, which is optimal up to the sqrt(log n) factor on most graphs.

研究动机与目标

• 开发一种基于图结构改进查询复杂度的图冲突问题量子算法。
• 解决图冲突问题精确量子查询复杂度的开放问题，其复杂度范围介于 $ \Omega(\sqrt{n}) $ 和 $ O(n^{2/3}) $ 之间。
• 证明对于大多数随机图，该算法可实现 $ \tilde{O}(\sqrt{n}) $ 的查询复杂度，接近最优。
• 利用广义程序和近似计数方法设计一种查询高效的算法。

提出的方法

• 通过 Brassard、Høyer 和 Tapp 的近似计数方法，在 $ O(\sqrt{n}) $ 次查询内估计标记顶点的总度数。
• 预处理阶段检查候选独立集中度数之和是否超过 $ \max\{\alpha^*(G), n\} $，若是则拒绝。
• 在主情形中，构建一个见证大小为 $ O(\sqrt{n} + \sqrt{\alpha^*(G)}) $ 的广义程序，将查询复杂度与见证大小关联。
• 应用 Reichardt 的结果，即量子查询复杂度与广义程序见证大小相差一个常数因子。
• 利用集中不等式和概率分析，对随机图 $ \mu_{n,p} $ 中的 $ \alpha^*(G) $ 进行上界估计。
• 综合上述结果，证明对于大多数随机图，$ \alpha^*(G) = O(\sqrt{n\log n}) $，从而得出 $ \tilde{O}(\sqrt{n}) $ 的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以基于图的结构性质参数（如 $ \alpha^*(G) $）来界定图冲突问题的量子查询复杂度？
• RQ2 是否可能在随机图上实现 $ \tilde{O}(\sqrt{n}) $ 的查询复杂度，且该复杂度与最优值有多接近？
• RQ3 广义程序能否被有效用于设计依赖于图属性改进的图冲突问题量子算法？
• RQ4 该算法在稀疏图或结构化图上的性能是否会显著下降，还是对各类图都具有鲁棒性？
• RQ5 该方法能否推广到超图或其他图冲突问题的推广形式？

主要发现

• 对于任意图 $ G $，图冲突问题的量子查询复杂度为 $ O(\sqrt{n} + \sqrt{\alpha^*(G)}) $，其中 $ \alpha^*(G) $ 是任意独立集中最大总度数。
• 对于固定边概率 $ p $ 的随机图 $ G \sim \mu_{n,p} $，该算法以高概率仅需 $ O(\sqrt{n\log n}) $ 次查询。
• 该界 $ O(\sqrt{n\log n}) $ 在 $ \sqrt{\log n} $ 因子内是最优的，因为问题可约化为 $ \Omega(n) $ 个非孤立顶点上的 OR 问题。
• 以高概率，随机图满足 $ \alpha^*(G) \leq O(\sqrt{n\log n}) $，这蕴含了 $ \tilde{O}(\sqrt{n}) $ 的复杂度。
• 该算法通过广义程序和近似计数实现其复杂度界限，且通过子程序的并集界将错误概率控制在 $ 1/3 $ 以内。
• 该结果表明，即使对于随机图，将查询复杂度改进至 $ \tilde{O}(\sqrt{n}) $ 对所有图都成立，仍是开放问题。