[论文解读] A quasi-Monte Carlo Method for an Optimal Control Problem Under Uncertainty

Philipp A. Guth, Vesa Kaarnioja+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 25被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种使用随机平移秩-1格子规则的准蒙特卡洛（QMC）方法，用于求解具有不确定性的PDE约束最优控制问题。通过利用具有非负权重的低差异序列，该方法实现了与四元节点数成反比的误差率，保持了凸性，并在收敛速度上优于标准蒙特卡洛方法。

ABSTRACT

We study an optimal control problem under uncertainty, where the target function is the solution of an elliptic partial differential equation with random coefficients, steered by a control function. The robust formulation of the optimization problem is stated as a high-dimensional integration problem over the stochastic variables. It is well known that carrying out a high-dimensional numerical integration of this kind using a Monte Carlo method has a notoriously slow convergence rate; meanwhile, a faster rate of convergence can potentially be obtained by using sparse grid quadratures, but these lead to discretized systems that are non-convex due to the involvement of negative quadrature weights. In this paper, we analyze instead the application of a quasi-Monte Carlo method, which retains the desirable convexity structure of the system and has a faster convergence rate compared to ordinary Monte Carlo methods. In particular, we show that under moderate assumptions on the decay of the input random field, the error rate obtained by using a specially designed, randomly shifted rank-1 lattice quadrature rule is essentially inversely proportional to the number of quadrature nodes. The overall discretization error of the problem, consisting of the dimension truncation error, finite element discretization error and quasi-Monte Carlo quadrature error, is derived in detail. We assess the theoretical findings in numerical experiments.

研究动机与目标

• 解决具有随机PDE系数的鲁棒最优控制问题中出现的高维积分挑战。
• 克服标准蒙特卡洛方法在高维随机积分中收敛缓慢的问题。
• 保持最优控制问题的凸性结构，该结构在稀疏网格积分中因负权重而丧失。
• 在统一框架下推导并分析维度截断、有限元离散化和QMC积分的误差界。
• 通过数值实验验证方法的有效性，并验证收敛速率。

提出的方法

• 该方法采用随机平移的秩-1格子积分规则，以近似对随机参数 $\boldsymbol{y} \in \Xi = [-1/2, 1/2]^\mathbb{N}$ 上的高维积分。
• 随机系数 $a(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ 被建模为线性参数展开 $\bar{a}(\boldsymbol{x}) + \sum_{j \geq 1} y_j \psi_j(\boldsymbol{x})$，其中 $y_j$ 是在 $[-1/2, 1/2]$ 上独立同分布的均匀随机变量。
• 最优控制问题被表述为最小化一个包含状态 $u$ 与目标 $u_0$ 之间期望平方差以及Tikhonov正则化项的泛函。
• 使用网格宽度 $h = 2^{-6}$ 的有限元方法对空间域 $\Omega = (0,1)^2$ 进行离散化。
• 随机积分在维度 $s = 2^{12}$ 处截断，且最终的积分使用 $n = 2^{15}$ 个点与单个随机平移完成。
• 采用带Armijo规则的投影梯度下降法求解离散化优化问题，以保持对控制 $z$ 的边界约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用具有非负权重的准蒙特卡洛方法，在高维随机最优控制问题中实现更快的收敛速度？
• RQ2 当对这类PDE约束问题使用随机平移的秩-1格子规则时，QMC积分误差的收敛速率是多少？
• RQ3 维度截断、有限元离散化和QMC积分的综合误差在整体解中如何缩放和相互作用？
• RQ4 QMC方法是否能保持最优控制问题的凸性，而不同于使用负权重的稀疏网格方法？
• RQ5 理论误差界能否通过数值实验验证，且与实验中观察到的收敛速率一致？

主要发现

• 使用随机平移秩-1格子规则的QMC方法在状态PDE上实现了 $\mathcal{O}(n^{-1.01080})$ 的收敛速率，在伴随PDE上实现了 $\mathcal{O}(n^{-1.012258})$ 的收敛速率，趋近于 $\mathcal{O}(n^{-1})$。
• 由于使用了非负积分权重，该方法保持了最优控制问题的凸性，而稀疏网格积分则不具备此特性。
• 综合截断误差、有限元离散化误差和QMC积分误差的整体离散化误差有界，并且收敛速率基本与四元节点数成反比。
• 数值实验验证了理论收敛速率，表明在较大的正则化参数 $\alpha = 0.1$ 下收敛速度更快。
• 投影梯度下降算法成功最小化了目标泛函，控制变量收敛至满足指定边界 $z_{\min} \leq z \leq z_{\max}$ 的可行且有界的解。
• 结果表明该方法有潜力扩展至多水平和多索引QMC策略，以及更高阶的QMC规则和不同目标函数。