[论文解读] A Quaternion-based Certifiably Optimal Solution to the Wahba Problem with Outliers

Heng Yang, Luca Carlone|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Robotics and Sensor-Based Localization参考文献 45被引用 5

一句话总结

该论文提出QUASAR，一种基于四元数半定规划松弛的可认证最优、多项式时间解法，用于处理含异常值的鲁棒Wahba问题。通过在单位四元数下重述截断最小二乘代价函数并利用紧致的SDP松弛，QUASAR即使在高达95%异常值的情况下也能实现全局最优与可认证解，其在准确性和鲁棒性上优于RANSAC、局部求解器及分支定界法。

ABSTRACT

The Wahba problem, also known as rotation search, seeks to find the best rotation to align two sets of vector observations given putative correspondences, and is a fundamental routine in many computer vision and robotics applications. This work proposes the first polynomial-time certifiably optimal approach for solving the Wahba problem when a large number of vector observations are outliers. Our first contribution is to formulate the Wahba problem using a Truncated Least Squares (TLS) cost that is insensitive to a large fraction of spurious correspondences. The second contribution is to rewrite the problem using unit quaternions and show that the TLS cost can be framed as a Quadratically-Constrained Quadratic Program (QCQP). Since the resulting optimization is still highly non-convex and hard to solve globally, our third contribution is to develop a convex Semidefinite Programming (SDP) relaxation. We show that while a naive relaxation performs poorly in general, our relaxation is tight even in the presence of large noise and outliers. We validate the proposed algorithm, named QUASAR (QUAternion-based Semidefinite relAxation for Robust alignment), in both synthetic and real datasets showing that the algorithm outperforms RANSAC, robust local optimization techniques, global outlier-removal procedures, and Branch-and-Bound methods. QUASAR is able to compute certifiably optimal solutions (i.e. the relaxation is exact) even in the case when 95% of the correspondences are outliers.

研究动机与目标

• 解决标准最小二乘法失效的极端异常值条件（如95%异常值）下的Wahba问题挑战。
• 开发一种全局最优、可认证的多项式时间解法，避免分支定界方法的指数复杂度。
• 通过用截断最小二乘（TLS）代价函数替代标准最小二乘，提升对高噪声和大异常值比例的鲁棒性。
• 通过构建基于四元数优化问题的紧致半定规划（SDP）松弛，实现可认证的最优性。
• 在极端条件下，优于现有方法（如RANSAC、鲁棒局部优化及全局异常值剔除技术）在准确性和可靠性方面的表现。

提出的方法

• 使用截断最小二乘（TLS）代价函数构建鲁棒Wahba问题，对残差较大的测量赋予恒定代价，使其对异常值不敏感。
• 使用单位四元数表示旋转，从而建立更自然且数值更稳定的优化框架。
• 引入二值变量以建模内点/外点决策，将TLS代价转化为混合整数QCQP。
• 通过将问题提升至高维空间并松弛秩约束，推导出基于四元数的QCQP的凸半定规划（SDP）松弛。
• 通过添加冗余但有效的约束来增强松弛的紧致性，保持与原问题的等价性，同时提升收敛性与最优性认证能力。
• 利用对偶间隙认证全局最优性：对偶间隙为零意味着松弛是精确的，解为可认证最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多项式时间内计算出含高达95%异常值的鲁棒Wahba问题的可认证最优解？
• RQ2 在高噪声和极端异常值比例下，基于四元数的SDP松弛是否比朴素方法提供更紧致的松弛？
• RQ3 所提方法在高异常值率下是否能在估计精度和鲁棒性方面优于RANSAC及其他最先进鲁棒求解器？
• RQ4 在存在大噪声和异常值的情况下，对偶间隙是否是全局最优性的可靠认证依据？
• RQ5 该方法是否能在无需初始猜测的情况下实现全局最优性，从而避免局部优化技术的依赖？

主要发现

• 在所有测试案例中，QUASAR均通过零对偶间隙验证了即使在95%对应关系为异常值时仍能获得可认证最优解。
• 在合成实验中，异常值比例达96%且噪声较低时，QUASAR成功计算出最优解，而GORE、BnB-L2和BnB-Ang均失败。
• 在高内点噪声（σ = 0.1）条件下，QUASAR在高达80%异常值率下仍保持鲁棒性，旋转估计误差低于所有对比方法。
• 在PASSTA午餐室数据集中，QUASAR成功拼接全部12对图像，包括最具挑战性的第(7,13)对（SURF异常值比例达66%），而基于RANSAC的拼接方法完全失败。
• 12项图像拼接任务的平均相对对偶间隙为1.40e-09，表明最优性间隙接近于零，解的可认证性极强。
• 解矩阵的稳定秩几乎为1（1 + 8.33e-17），证实解矩阵为秩-1，验证了松弛的精确性。