[论文解读] A QUATERNIONIC FRACTIONAL BOREL–POMPEIU-TYPE FORMULA

José Óscar González-Cervantes, Juan Bory Reyes|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2021

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于新型分数阶 ψ−Fueter 算子的分数阶四元数 Borel-Pompeiu 公式，该算子源自具有复向量参数的 Riemann-Liouville 分数阶导数。通过将经典的 ψ−正全纯理论推广至分数阶设置，本文建立了一个类 Stokes 型积分公式，该公式可分解分数阶 ψ−Laplacian，并为分数阶 ψ−正全纯类中的函数提供了完整的积分表示。

ABSTRACT

In theoretical setting, associated with a fractional ψ-Fueter operator that depends on an additional vector of complex parameters with fractional real parts, this paper establishes a fractional analog of Borel–Pompeiu formula as a first step to develop a fractional ψ-hyperholomorphic function theory and the related operator calculus.

研究动机与目标

• 通过 Riemann-Liouville 分数阶导数，将 ψ−正全纯函数理论扩展至分数阶微积分领域。
• 定义一种依赖于具有分数阶实部的复向量参数的新分数阶 ψ−Fueter 算子。
• 在四元数分析中建立经典 Borel-Pompeiu 公式的分数阶类比。
• 证明所引入的分数阶 ψ−Fueter 算子可分解分数阶 ψ−Laplacian。
• 为四元数分析中系统化的分数阶算子微积分奠定基础。

提出的方法

• 通过阶数为 ⃗α ∈ C⁴ 且满足 ℜαℓ ∈ (n−1, n)（ℓ=0,1,2,3）的 Riemann-Liouville 分数阶导数，引入分数阶 ψ−Fueter 算子。
• 将分数阶 Cauchy 核 K⃗αψ,a(yn−x) 定义为经典核的推广，基于迭代分数阶积分。
• 利用分数阶 ψ−Fueter 算子，构建嵌套矩形 J₁ ⊃ J₂ ⊃ ... ⊃ Jₙ 上的多变量迭代积分公式。
• 应用广义 Stokes 公式，推导出包含边界积分与体积分的分数阶 Borel-Pompeiu 型恒等式。
• 使用迭代分数阶积分算子 ψIyna[f](q, yn, ⃗α) 表示分数阶 ψ−Fueter 方程的解。
• 通过关于微分阶数的数学归纳法证明主公式，利用分数阶微积分的基本定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将四元数分析中经典的 Borel-Pompeiu 公式推广至分数阶设置？
• RQ2 通过具有复向量参数的 Riemann-Liouville 导数定义的分数阶 ψ−Fueter 算子的结构是什么？
• RQ3 分数阶 ψ−Fueter 算子与分数阶 ψ−Laplacian 之间有何关系？
• RQ4 能否为分数阶 ψ−正全纯类中的函数构造一个多变量积分表示？
• RQ5 刻画分数阶 ψ−Fueter 方程解的边界积分与体积分恒等式是什么？

主要发现

• 定义了一种新的分数阶 ψ−Fueter 算子，即 ψ−Fueter 算子与 Riemann-Liouville 分数阶积分的复合，其依赖于具有分数阶实部的复向量参数。
• 分数阶 ψ−Fueter 算子可分解分数阶 ψ−Laplacian，为该理论建立了关键的结构性质。
• 为嵌套矩形 Jₙ ⊂ Jₙ₋₁ ⊂ ... ⊂ J₁ 推导出一个分数阶 Borel-Pompeiu 型公式，适用于 AC¹(Jₙ, H) 中的函数并满足正则性条件。
• 主公式将 f(x) 表示为涉及分数阶 Cauchy 核 K⃗αψ,a 的边界积分与高阶分数阶导数体积分的组合。
• 推论表明，当分数阶 ψ−Fueter 算子为零时，公式退化为区域角点处函数值之和，外加一个修正项 N[f](q,x,⃗α)。
• 当 x = q ∈ Jₙ 时，公式给出 4f(q) + N[f](q,q,⃗α)，提供了一个含依赖于分数阶参数的余项的点值恒等式。