[论文解读] A Quillen theorem Bn for homotopy pullbacks

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过引入一个新构造 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g\boldsymbol{Z})$，将Quillen的定理B推广至同伦上积。当$f$满足性质$B_n$时（特别是当$\boldsymbol{Y}$具有性质$C_n$时），该构造即为 zigzag $\boldsymbol{X} \to \boldsymbol{Y} \from \boldsymbol{Z}$ 的同伦上积。关键结果为：若从普通上积 $\boldsymbol{X} \times_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}$ 到 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g\boldsymbol{Z})$ 的典范单射为弱等价，则该普通上积即为同伦上积。

ABSTRACT

We prove an extension of the Quillen Theorem Bn for homotopy fibres to a similar result for homotopy pullbacks and use this to obtain sufficient conditions on a pullback diagram of categories to guarantee that it be a homotopy pullback.

研究动机与目标

• 将Quillen的定理B从同伦纤维推广至范畴之间 zigzag 图的同伦上积情境。
• 建立普通上积 $\boldsymbol{X} \times_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}$ 为同伦上积的充分条件。
• 通过利用Quillen关于Grothendieck构造的奠基性引理，提供同伦上积结果的非归纳性证明。
• 将结果应用于简化相对范畴中完全Segal空间的Segal条件验证，特别是具有两取二性质和三箭头演算的相对范畴。
• 证明此类相对范畴中弱等价范畴具有性质$C_3$，从而可将主定理应用于$n=3$的情形。

提出的方法

• 引入新构造 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g\boldsymbol{Z})$，作为 zigzag $f: \boldsymbol{X} \to \boldsymbol{Y} \from \boldsymbol{Z}: g$ 的同伦上积候选。
• 通过函子 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n -): \boldsymbol{Y} \to \mathbf{Cat}$ 的Grothendieck构造，定义同伦上积范畴。
• 利用Quillen的关键引理：若函子 $F: \boldsymbol{D} \to \mathbf{Cat}$ 将$\boldsymbol{D}$ 中所有映射发送为弱等价（即具有性质$Q$），则投影 $\pi: \operatorname{Gr}F \to \boldsymbol{D}$ 的纤维为同伦纤维。
• 将此引理由应用于 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g-)$ 在 $\boldsymbol{Z}$ 上的Grothendieck构造，证明 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n gZ)$ 是在 $Z$ 上的同伦纤维。
• 构造一个包含 $\pi: (f\boldsymbol{X}\nabla_n \boldsymbol{Y}) \to \boldsymbol{Y}$ 与 $g: \boldsymbol{Z} \to \boldsymbol{Y}$ 的上积正方形，并通过纤维同构与同伦纤维性质证明其为同伦上积。
• 证明：若普通上积 $\boldsymbol{X} \times_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}$ 为同伦上积，则从 $\boldsymbol{X} \times_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}$ 到 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g\boldsymbol{Z})$ 的典范单射 $k$ 必为弱等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，zigzag $\boldsymbol{X} \to \boldsymbol{Y} \from \boldsymbol{Z}$ 的普通上积 $\boldsymbol{X} \times_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}$ 为同伦上积？
• RQ2 Quillen的定理B如何从同伦纤维推广至范畴值函子情境下的同伦上积？
• RQ3 性质$B_n$（或$C_n$）在确保构造 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g\boldsymbol{Z})$ 为同伦上积中起何作用？
• RQ4 能否利用此推广定理更简便地验证完全Segal空间中的Segal条件，特别是在无单纯结构的相对范畴中？
• RQ5 Grothendieck构造 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g-)$ 如何促进同伦上积性质的证明？

主要发现

• 当$f$具有性质$B_n$时，构造 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g\boldsymbol{Z})$ 即为 zigzag $f: \boldsymbol{X} \to \boldsymbol{Y} \from \boldsymbol{Z}: g$ 的同伦上积。
• 若$\boldsymbol{Y}$具有性质$C_n$，则$f$自动具有性质$B_n$，因此在更弱的假设下即可满足同伦上积条件。
• 若从普通上积 $\boldsymbol{X} \times_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}$ 到 $(f\boldsymbol{X}\nabla_n g\boldsymbol{Z})$ 的典范单射 $k: \boldsymbol{X} \times_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z} \to (f\boldsymbol{X}\nabla_n g\boldsymbol{Z})$ 为弱等价，则该普通上积为同伦上积。
• 证明依赖于Quillen的奠基性引理：若函子 $F: \boldsymbol{D} \to \mathbf{Cat}$ 具有性质$Q$（将所有映射发送为弱等价），则投影 $\pi: \operatorname{Gr}F \to \boldsymbol{D}$ 的纤维为同伦纤维。
• 该结果提供了同伦纤维版本定理$B_n$的非归纳性证明，其自然推广至同伦上积情形。
• 该定理简化了完全Segal空间中Segal条件的验证，如作者后续工作中所示，其可简化为在具有$C_3$性质的范畴中检查弱等价。