[论文解读] A Radon-Nikodym theorem for completely n-positive linear maps on pro-C*-algebras and its applications

Maria Joiţa|ArXiv.org|Jan 9, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在pro-$C^*$-代数上建立了完全$n$-正线性映射的Radon-Nikodym型定理，通过其关联的Stinespring型表示刻画了此类映射的序结构、纯性与极值性。主要贡献在于利用表示的交换子上的投影映射的单射性，对单位元完全$n$-正映射集合中的极值点给出了刻画，将Arveson的结果推广至pro-$C^*$-代数设定。

ABSTRACT

The order relation on the set of completely n-positive linear maps from a pro-C*-algebra A to L(H), the C*-algebra of bounded linear operators on a Hilbert space H, is characterized in terms of the representation associated with each completely n-positive linear map. Also, the pure elements in the set of all completely n-positive linear maps from A to L(H) and the extreme points in the set of unital completely n-positive linear maps from A to L(H) are characterized in terms of the representation induced by each completely n-positive linear map.

研究动机与目标

• 将Arveson关于完全正映射的Radon-Nikodym定理推广至pro-$C^*$-代数上的完全$n$-正映射设定。
• 通过其关联表示刻画完全$n$-正线性映射集合上的序关系。
• 通过表示论条件识别单位元完全$n$-正映射集合中的纯元素与极值元素。
• 将Kaplansky的多重正泛函理论推广至pro-$C^*$-代数与$n$-正性的情境。
• 利用表示的交换子上投影映射的单射性，对单位元完全$n$-正映射空间中的极值点提供刻画。

提出的方法

• 在$\mathcal{B}(A, L(H))$上的矩阵序结构与pro-$C^*$-代数$A$的非退化表示的可比较性之间建立对应关系。
• 将$n$-正与完全$n$-正线性映射定义为从$A$到$L(H)$的连续线性映射的$n \times n$矩阵，其在$M_n(A)$到$M_n(L(H))$上诱导出一个完全正映射。
• 利用广义Stinespring构造，将每个完全$n$-正映射与$H_\rho$上的$A$表示相关联，从而推广GNS与KSGNS构造。
• 为交换子$\Phi_\rho(A)'$中的正算子$T$定义关联映射$\theta_T$，并用其表示完全$n$-正映射集合中的元素。
• 证明从$\Phi_\rho(A)'$到$L(H_\rho)$的映射$T \mapsto P_{H_0} T P_{H_0}$是单射，当且仅当映射$\rho$是单位元完全$n$-正映射集合中的极值点。
• 利用表示论框架推导出纯性与极值性的判别准则，推广了Arveson与Kaplan的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过其关联表示刻画从pro-$C^*$-代数$A$到$L(H)$的完全$n$-正线性映射集合上的序关系？
• RQ2 与完全$n$-正映射关联的表示需满足何种条件，才能保证该映射为纯映射？
• RQ3 在何种条件下，单位元完全$n$-正映射是此类映射集合中的极值点？
• RQ4 投影映射$T \mapsto P_{H_0} T P_{H_0}$在交换子上的单射性与映射$\rho$的极值性有何关联？
• RQ5 能否将单位元完全正映射情形下极值点的刻画推广至pro-$C^*$-代数上的$n$-正映射设定？

主要发现

• 完全$n$-正线性映射集合上的序关系通过其关联的希尔伯特空间上非退化表示的可比较性得以刻画。
• 完全$n$-正映射$\rho$为纯映射，当且仅当其关联表示满足由Stinespring构造导出的特定不可约性条件。
• 单位元完全$n$-正映射$\rho$为该类映射集合中的极值点，当且仅当从$\Phi_\rho(A)'$到$L(H_\rho)$的映射$T \mapsto P_{H_0} T P_{H_0}$是单射。
• 若$\rho$的对角分量$\rho_{ii}$为纯映射，且对$i \neq j$满足$\rho_{ij}(u_{ij}) = I_H$的酉等价条件，则映射$\varphi(a) = [\rho_{ij}(a)]$是$A$到$M_n(L(H))$的单位元完全正映射集合中的极值点。
• $CP^n_\infty(A, L(H), I)$中极值点的刻画推广了Arveson在$C^*$-代数情形下的结果至pro-$C^*$-代数设定。
• 证明依赖于在交换子中利用正算子构造扰动$\rho_T$，并证明极值性迫使扰动算子为恒等算子的标量倍。