[论文解读] A random Schrödinger operator associated with the Vertex Reinforced Jump Process on infinite graphs

Christophe Sabot, Xiaolin Zeng|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 3被引用 14

一句话总结

该论文将无限图上的顶点自加速跳跃过程（VRJP）表示为一个由具有1-依赖性随机势的随机施特纳默算子所定义的马尔可夫跳跃过程的混合。证明了在 $\mathbb{Z}^d$ 上，VRJP 和 ERRW 的常返性或遍历性服从零一律，并在弱增强下为 $d \geq 3$ 推导出功能性中心极限定理，同时确认了在 $d=2$ 时对所有常数初始权重，ERRW 的常返性。

ABSTRACT

This paper concerns the Vertex reinforced jump process (VRJP), the Edge reinforced random walk (ERRW) and their link with a random Schrödinger operator. On infinite graphs, we define a 1-dependent random potential $β$ extending that defined in [20] on finite graphs, and consider its associated random Schrödinger operator $H_β$. We construct a random function $ψ$ as a limit of martingales, such that $ψ=0$ when the VRJP is recurrent, and $ψ$ is a positive generalized eigenfunction of the random Schrödinger operator with eigenvalue $0$, when the VRJP is transient. Then we prove a representation of the VRJP on infinite graphs as a mixture of Markov jump processes involving the function $ψ$, the Green function of the random Schrödinger operator and an independent Gamma random variable. On ${\mathbb Z}^d$, we deduce from this representation a zero-one law for recurrence or transience of the VRJP and the ERRW, and a functional central limit theorem for the VRJP and the ERRW at weak reinforcement in dimension $d\ge 3$, using estimates of [10,8]. Finally, we deduce recurrence of the ERRW in dimension $ d=2$ for any initial constant weights (using the estimates of Merkl and Rolles, [15,17]), thus giving a full answer to the old question of Diaconis. We also raise some questions on the links between recurrence/transience of the VRJP and localization/delocalization of the random Schrödinger operator $H_β$.

研究动机与目标

• 将 VRJP 的表示方法从有限图扩展至无限图。
• 在 $\mathbb{Z}^d$ 上建立 VRJP 与 ERRW 的常返性/遍历性零一律。
• 在 $d \geq 3$ 的弱增强条件下，证明 VRJP 与 ERRW 的功能性中心极限定理。
• 解决戴亚科尼斯关于在 $d=2$ 时对所有常数初始权重，ERRW 均常返的猜想。
• 探讨 VRJP 的常返性/遍历性与关联随机施特纳默算子 $H_\beta$ 的局域化/非局域化之间的关系。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}^d$ 上构造一个具有逆高斯边缘分布的 1-依赖性随机势 $\beta$。
• 定义随机施特纳默算子 $H_\beta = -W\Delta + V$，其中 $V_j = 2\beta_j - 2dW$，形成具有平稳、1-依赖性势的安德森型模型。
• 定义 $H_\beta$ 的广义特征函数 $\psi$，其特征值为 0：在常返时 $\psi = 0$，在遍历时为正且为广义特征函数。
• 构造格林函数 $G(i,j) = \widehat{G}(i,j) + \frac{1}{2}\gamma^{-1}\psi(i)\psi(j)$，其中 $\widehat{G} = (H_\beta)^{-1}$ 且 $\gamma \sim \text{Gamma}(1/2,1)$。
• 在可交换时间尺度下，将 VRJP 表示为跳跃率为 $\frac{1}{2}W_{ij} G(i_0, j)$ 的马尔可夫跳跃过程的混合，利用 $\psi$、$G$ 和 $\gamma$。
• 使用 [10, 8] 和 [15, 17] 中的估计，建立功能性中心极限定理与 $d=2$ 时常返性的紧致性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{Z}^d$ 上，VRJP 是否满足常返性或遍历性的零一律？
• RQ2 在无限图上，VRJP 是否能表示为涉及随机施特纳默算子广义特征函数的马尔可夫跳跃过程的混合？
• RQ3 在维度 $d \geq 3$ 的弱增强条件下，VRJP 与 ERRW 的功能性中心极限定理是否成立？
• RQ4 如戴亚科尼斯所猜想，在 $d=2$ 时对所有常数初始权重，边自加速随机游走是否常返？
• RQ5 VRJP 的常返性/遍历性与随机施特纳默算子 $H_\beta$ 的局域化/非局域化之间存在何种关系？

主要发现

• 在 $\mathbb{Z}^d$ 上，VRJP 的常返性或遍历性服从零一律，其结果取决于增强强度。
• 在可交换时间尺度下，VRJP 被表示为跳跃率为 $\frac{1}{2}W_{ij} G(i_0, j)$ 的马尔可夫跳跃过程的混合，其中 $G$ 涉及 $H_\beta$ 的格林函数与广义特征函数 $\psi$。
• 对于 $d \geq 3$，在弱增强下，VRJP 与 ERRW 的功能性中心极限定理成立，收敛于斯科罗霍德拓扑下的布朗运动。
• 在 $d=2$ 时，边自加速随机游走对所有常数初始权重均常返，证实了戴亚科尼斯的猜想。
• 当 VRJP 遍历时，随机施特纳默算子 $H_\beta$ 的特征值为 0 的广义特征函数 $\psi$ 为正；当 VRJP 常返时，$\psi$ 恒为零。
• 随机势 $\beta$ 为 1-依赖且平稳的，其边缘分布为参数为 $\left(\frac{1}{dW}, 1\right)$ 的逆高斯分布的倒数。