[论文解读] A Randomized Rounding Algorithm for the Asymmetric Traveling Salesman Problem

Michel X. Goemans, Nicholas J. A. Harvey+2 more|ArXiv.org|Sep 4, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对满足三角不等式的有向旅行商问题（ATSP）的新型随机化舍入算法，通过首先从缩放后的线性规划解中随机采样构造出近乎平衡的有向多重图，再通过传输子图将其修补为欧拉图，实现了 $O(\log n)$ 的近似比。该方法证明了 Held-Karp 松弛的整数规划间隙为 $O(\log n)$，与已知界一致，但采用了新的概率分析方法。

ABSTRACT

We present an algorithm for the asymmetric traveling salesman problem on instances which satisfy the triangle inequality. Like several existing algorithms, it achieves approximation ratio O(log n). Unlike previous algorithms, it uses randomized rounding.

研究动机与目标

• 开发一种在三角不等式条件下具有改进近似保证的新型有向旅行商问题（ATSP）算法。
• 通过随机化舍入，为 ATSP 的 Held-Karp 线性规划松弛提供 $O(\log n)$ 整数规划间隙的新证明。
• 证明随机化舍入可在高概率下生成近乎平衡的有向图，从而实现高效的欧拉完成。
• 证明所需的缩放因子 $K = \Omega(\log n)$ 对连通性和平衡性是必要的，从而证明分析在常数因子范围内是紧致的。

提出的方法

• 将分数阶 Held-Karp 解 $x$ 按 $K = 100\ln n$ 缩放，以创建一个包含每条边 $K$ 个平行副本的多重图 $G$。
• 对 $G$ 中的边进行独立随机采样，每条边被选中的概率与其权重成正比，从而形成一个随机多重图 $H$。
• 利用切尔诺夫不等式证明：以高概率，$H$ 中所有割的偏差不超过 $\epsilon = \sqrt{1/10}$，从而确保入度和出度近乎平衡。
• 将 $z$ 定义为 $H$ 的整数边计数向量，其在高概率下满足对所有非平凡子集 $U \subset V$，有 $\frac{z(\delta^+(U))}{z(\delta^-(U))} \leq 2$。
• 应用霍夫曼的流定理，寻找 $z$ 的子图 $w$，使每个顶点的净流出量被平衡，从而使 $z + w$ 成为欧拉图。
• 对 $z + w$ 中的欧拉回路进行捷径处理，得到一个成本至多为 $O(\log n) \cdot c^T x$ 的有效 ATSP 路线。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用随机化舍入从分数阶 ATSP 解中构造出近乎平衡的有向图？
• RQ2 为确保随机化舍入过程中平衡性和连通性的高概率，所需的缩放因子 $K$ 是多少？
• RQ3 该随机化舍入方法是否能在三角不等式条件下为 ATSP 提供 $O(\log n)$ 近似解？
• RQ4 Held-Karp 松弛的 $O(\log n)$ 整数规划间隙是否紧致？能否通过 $K$ 的下界证明这一点？
• RQ5 能否利用 $z$ 的传输子图将 $z$ 修补为欧拉图，且不引入过高的成本？

主要发现

• 随机化舍入过程以高概率构造出一个近乎平衡的有向多重图 $H$，使得对所有 $U \subsetneq V$，有 $\frac{z(\delta^+(U))}{z(\delta^-(U))} \leq 2$。
• 舍入解 $z$ 的期望成本为 $O(\log n) \cdot c^T x$，且以高概率，实际成本在 $O(\log n) \cdot c^T x$ 范围内。
• 传输子图 $w$ 存在，且其成本至多为 $c^T z$，因此 $z + w$ 的成本至多为 $2 \cdot c^T z = O(\log n) \cdot c^T x$。
• 该算法以高概率生成一个成本为 $O(\log n) \cdot c^T x$ 的连通欧拉子图，通过捷径处理可得到有效的 ATSP 路线。
• 一个紧致示例表明，为以常数概率确保连通性和平衡性，$K = \Omega(\log n)$ 是必要的，从而证明分析在常数因子范围内是紧致的。
• 通过该新型随机化舍入方法，证明了 ATSP 的 Held-Karp 松弛的整数规划间隙至多为 $O\left(\log n\right)$。