[论文解读] A randomly determined unpredictable function

Marat Akhmet, Mehmet Onur Fen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Neural Networks and Applications参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于伯努利随机过程的不可预测连续函数的新构造方法，证明了此类函数表现出庞加莱混沌。通过独立伯努利试验生成不可预测序列，并利用稳定线性系统进行积分，作者得到了一种连续、一致连续且有界的函数，该函数满足不可预测性的严格定义，同时提供了明确的仿真与稳定性分析。

ABSTRACT

In this paper, we construct a new unpredictable function. Our approach is based on adapting the concept of symbolic dynamics to introduce a map on the space of infinite sequences generated by the discrete distribution. We show that there exists an unpredictable sequence on the space and then use the sequence to construct an unpredictable function.

研究动机与目标

• 提供一种新的构造性方法以生成不可预测函数，这对于在动力系统中建模庞加莱混沌至关重要。
• 克服仅依赖确定性映射（如逻辑斯蒂映射）来构造不可预测序列的局限性。
• 证明随机过程，特别是伯努利过程，可以产生数学上严谨的不可预测序列与函数。
• 确立连续、有界且一致连续的不可预测函数的存在性，其不可预测性符合庞加莱混沌的定义。
• 提供一种可使用标准计算工具进行数值仿真的不可预测函数实例。

提出的方法

• 构造始于在 {0,1} 上的双无限独立同分布伯努利试验序列，生成具有符号动力学特性的序列。
• 通过递归拼接长度递增的二进制序列，在符号动力学空间 Σ₂ 中定义一个不可预测点。
• 定义一个分段常数函数 π(t)，使得当 t ∈ [k, k+1) 时，π(t) = iₖ*，其中 iₖ* 为不可预测序列。
• 通过与指数核卷积定义一个连续函数 χ(t)：χ(t) = ∫₋∞ᵗ e⁻⁽ᵗ⁻ˢ⁾ π(s) ds，以确保有界性与连续性。
• 通过验证存在发散序列 {ζₙ}、{ηₙ} 满足不可预测性的拓扑与一致范数条件，证明函数 χ(t) 是不可预测的。
• 使用 μ = 0.1 和随机生成的 iₖ ∈ {0,1} 进行数值仿真，ODE x' = -x + h(t) 的解在 t ≥ 50 时以高精度近似 χ(t)。

实验结果

研究问题

• RQ1 伯努利随机过程能否用于构造数学上严谨的不可预测序列？
• RQ2 通过稳定线性系统对不可预测序列进行积分，是否能产生不可预测的连续函数？
• RQ3 此类函数能否使用标准软件以高精度进行数值仿真？
• RQ4 所得函数是否具有一致连续性、有界性，并满足不可预测性的形式定义？
• RQ5 在庞加莱混沌的背景下，输入序列的不可预测性与输出函数之间存在何种关系？

主要发现

• 由 χ(t) = ∫₋∞ᵗ e⁻⁽ᵗ⁻ˢ⁾ π(s) ds 定义的函数 χ(t) 是一致连续且有界的，且满足 sup|χ(t)| ≤ max{|a|, |b|}。
• 该函数被证明是不可预测的，即存在发散序列 {ζₙ}、{ηₙ}，使得 ||χ(t+ζₙ) - χ(t)|| → 0 在紧集上一致成立，且在 ηₙ 附近的区间上满足 ||χ(t+ζₙ) - χ(t)|| ≥ ε₀/24。
• 不可预测常数 ε₀ 可取为 |a - b|，即伯努利过程中两个符号之间的差值。
• 当 t ∈ [50, 100] 时，ODE x' = -x + h(t) 的解 φ(t) 满足 φ(0) = 0.5，其与 χ(t) 的误差小于 10⁻¹⁷，达到 Matlab 精度。
• 通过使用 μ = 0.1 与随机生成的 iₖ（取值为 0 或 1）的离散化版本，成功实现了 χ(t) 的仿真。
• 该构造证实，伯努利过程生成的序列在拓扑上等价于符号动力学轨道，从而支持了不可预测函数的构建。