[论文解读] A Rate-Distortion Perspective on Quantum State Redistribution

Zahra Baghali Khanian, Andreas Winter|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于量子态重分配的量子率失真框架，将经典的Wyner-Ziv源编码推广至量子系统，并在输出态上采用加法失真度量。尽管需要在辅助寄存器上进行无界优化且在零失真时存在连续性问题，但该框架推导出了纠缠辅助率失真函数的单字母公式，这些问题在特定情况下得到了解决。

ABSTRACT

We consider a rate-distortion version of the quantum state redistribution task, where the error of the decoded state is judged via an additive distortion measure; it thus constitutes a quantum generalisation of the classical Wyner-Ziv problem. The quantum source is described by a tripartite pure state shared between Alice ($A$, encoder), Bob ($B$, decoder) and a reference ($R$). Both Alice and Bob are required to output a system ($\widetilde{A}$ and $\widetilde{B}$, respectively), and the distortion measure is encoded in an observable on $\widetilde{A}\widetilde{B}R$. It includes as special cases most quantum rate-distortion problems considered in the past, and in particular quantum data compression with the fidelity measured per copy; furthermore, it generalises the well-known state merging and quantum state redistribution tasks for a pure state source, with per-copy fidelity, and a variant recently considered by us, where the source is an ensemble of pure states [ZBK & AW, Proc. ISIT 2020, pp. 1858-1863 and ZBK, PhD thesis, UAB 2020, arXiv:2012.14143]. We derive a single-letter formula for the rate-distortion function of compression schemes assisted by free entanglement. A peculiarity of the formula is that in general it requires optimisation over an unbounded auxiliary register, so the rate-distortion function is not readily computable from our result, and there is a continuity issue at zero distortion. However, we show how to overcome these difficulties in certain situations.

研究动机与目标

• 将经典的Wyner-Ziv源编码推广至量子领域，采用输出态上的加法失真度量。
• 在统一的框架下整合并推广现有的量子率失真模型，包括量子数据压缩和态合并。
• 为纯态源推导出纠缠辅助率失真函数的单字母表征。
• 解决率失真函数中的计算与连续性挑战，特别是在零失真时的情形。
• 展示在特定物理场景中，如何克服连续性与可计算性问题。

提出的方法

• 该框架建模了由爱丽丝（A）、鲍勃（B）和参考系（R）共享的三体纯态 |ψ⟩^ABR，输出系统为 Â 和 B̃。
• 失真通过 ÂB̃R 联合态上的凸连续函数 Δ 定义，推广了基于保真度和可观测量的度量。
• 采用共享纠缠态 Φ^{A₀B₀} 和 CPTP 映射 E 与 D 的纠缠辅助压缩方案，实现对态的编码与解码。
• 率失真函数 Qₑₐ(D) 定义为在给定失真 D 下可实现速率的下确界，且在块长度趋于无穷时实现渐近收敛。
• 推导过程利用了去耦定理和Alicki-Fannes不等式，以有界输出系统与环境之间的量子互信息。
• 关键技术步骤在于证明：当失真 D 趋近于零时，环境系统与输出系统渐近解耦。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解码器的输出通过一般凸加法失真度量而非保真度进行评估时，量子态重分配的最优速率是多少？
• RQ2 自由纠缠的存在如何影响量子态重分配中的率失真权衡？
• RQ3 尽管需要对无界辅助寄存器进行优化，率失真函数能否以单字母形式表达？
• RQ4 率失真函数在零失真时的连续性特性如何？又该如何解决？
• RQ5 在哪些物理场景中，率失真公式中的无界优化可被有效有界或计算？

主要发现

• 本文推导出纠缠辅助率失真函数 Qₑₐ(D) 的单字母公式，该公式推广了量子数据压缩与态合并。
• 该公式需要在无界辅助寄存器上进行优化，因此在一般情况下不可计算，并导致零失真时的连续性问题。
• 对于小失真 D，输出态与目标态之间的迹距离被有界于 O(√D)，从而可利用 Fannes-Audenaert 不等式控制量子互信息。
• 当 D→0 时，环境系统与输出系统渐近解耦，意味着量子互信息趋于零。
• 在源态为满秩的物理场景中，通过有界状态变换的算子范数，解决了连续性问题，从而实现有效计算。
• 该框架包含态合并与基于每份保真度的量子数据压缩作为特例，与先前结果保持一致。