[论文解读] A rate-independent model for the isothermal quasi-static evolution of shape-memory materials

Ferdinando Auricchio, Alexander Mielke+1 more|ArXiv.org|Aug 31, 2007

Shape Memory Alloy Transformations参考文献 41被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种无速率依赖性、等温准静态的形状记忆材料模型，采用能量形式化方法描述应力诱导的相变。该研究建立了解的存在性与连续依赖性，通过$̼Gamma$-收敛性证明了时间和空间逼近的收敛性，并在三维情形下通过正则化和渐近分析验证了该模型。

ABSTRACT

This note addresses a three-dimensional model for isothermal stress-induced transformation in shape-memory polycrystalline materials. We treat the problem within the framework of the energetic formulation of rate-independent processes and investigate existence and continuous dependence issues at both the constitutive relation and quasi-static evolution level. Moreover, we focus on time and space approximation as well as on regularization and parameter asymptotics.

研究动机与目标

• 为在应力诱导相变下形状记忆材料的等温准静态演化建立严格的数学框架。
• 在无速率依赖过程的能量形式化中，建立解的存在性与连续依赖性。
• 在三维设置下分析时间与空间的离散化、正则化及参数渐近行为。
• 通过$̼Gamma$-收敛性与稳定性论证，证明近似解（时间、空间及正则化）收敛于连续问题。

提出的方法

• 通过线性化应变的加法分解，将应变表示为弹性与非弹性（相变）部分之和：$\varepsilon = \varepsilon_{\text{el}} + z$。
• 采用通过次微分包含的能量形式化：$\binom{0}{\partial D(\dot{z})} + \binom{\partial_\varepsilon W}{\partial_z W} \ni \binom{\sigma}{0}$，其中$W$为储能函数，$D$为耗散密度。
• 引入正则化参数$\rho > 0$的正则化问题，以确保增量解的存在性与唯一性。
• 采用时间步长为$\tau$的时间离散化，空间逼近通过有限维子空间$Y^\nu_{0,h}$实现，其中$h$表示网格尺寸。
• 利用$\Gamma$-收敛性技术分析当$\rho, \tau, h \to 0$时近似解的极限，证明在强拓扑与弱拓扑下的收敛性。
• 通过$W$与$D$的下确界连续性以及$D$在$L^2(\Omega; \mathbb{R}^{3\times3}_{\text{dev}})$中的强连续性，建立极限下的稳定性与能量等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在能量形式化下，无速率依赖性、等温准静态的形状记忆材料模型是否具有解？
• RQ2 时间和空间逼近如何收敛于连续解，正则化起到何种作用？
• RQ3 当时间步长$\tau$、空间离散化$h$与正则化参数$\rho$同时趋于零时，解的行为如何？
• RQ4 能量形式化是否能在正则化与离散化参数趋于零的极限下保持稳定性与能量平衡？
• RQ5 在$\rho$、$\tau$与$h$的联合极限下，增量解的收敛行为如何？

主要发现

• 对于固定的$\nu > 0$，当$\rho_k \to \rho$，$\tau_k \to \tau \geq 0$，且$h_k \to h \geq 0$时，解$(v,z)_{\rho,\tau,h}$在$\mathcal{Y}^\nu_0$中强收敛，可能沿子序列收敛。
• 极限解满足稳定性条件（6.1）与能量等式（6.2），确认其为连续演化问题的有效解。
• 通过$\mathcal{Y}^\nu_0$中的弱收敛与$z$在$L^2(\Omega; \mathbb{R}^{3\times3}_{\text{dev}})$中的强收敛，建立了类型$e$（联合极限$\rho, \tau \to 0$）的收敛性。
• 通过在离散能量估计（6.6）中取$\liminf$，在极限中保持了上界能量估计。
• 通过在时间连续的上界能量估计（6.7）中取$\liminf$，证明了极限$f$（当$\tau = 0$时）的存在性，由于无需时间离散化，简化了论证。
• 收敛结果在联合极限下具有鲁棒性，如图3所示，所有参数空间路径下的收敛性均成立，包括$\rho = 0$与$\tau = 0$的情形。