[论文解读] A rational approximation for the Dawson's integral of real argument

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Spectroscopy and Laser Applications参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文提出了一种实变量的Dawson积分的有理逼近方法，实现了在小y值（y ≤ 10⁻⁶）下对Voigt函数的高精度、快速计算。该方法在0 ≤ x ≤ 15和0 ≤ y ≤ 10⁻⁶范围内实现了超过10⁻¹⁰的精度，计算开销可忽略不计，因此特别适用于光谱线宽化应用。

ABSTRACT

We present a rational approximation for the Dawson's integral of real argument and show how it can be implemented for accurate and rapid computation of the Voigt function at small $y < < 1$. The algorithm based on this approach enables computation with accuracy exceeding ${10^{ - 10}}$ within the domain $0 \le x \le 15$ and $0 \le y \le {10^{ - 6}}$. Due to rapid performance the proposed rational approximation runs the algorithm without deceleration.

研究动机与目标

• 解决在极小y值（y ≤ 10⁻⁶）下Voigt函数计算中长期存在的高精度与高效率挑战，此时标准近似方法失效。
• 为实变量的Dawson积分开发一种有理逼近方法，作为低y区域可靠计算的补充手段。
• 确保在分子光谱学相关的关键区域0 ≤ x ≤ 15和0 ≤ y ≤ 10⁻⁶内实现高性能与高精度。
• 提供一种实用、快速且精确的算法解决方案，可无缝集成至现有的Voigt函数计算框架中。

提出的方法

• 基于不完全sinc函数展开的采样方法，推导出Dawson积分F(x)的有理逼近。
• 利用涉及指数与三角函数项的离散求和所得系数，参数设置为h = 0.293，m_max = 12，ς = 2.75，N = 23。
• 将有理逼近实现为关于x的有理函数，其系数α_m、β_m、γ_m通过谱采样和对n的求和获得。
• 将有理逼近整合至Voigt函数的混合算法中：当y < 10⁻⁶时使用有理逼近，当y ≥ 10⁻⁶时使用修正的指数形式。
• 利用Faddeeva函数与Dawson积分之间的已知关系，确保结果的一致性与精度。
• 通过与现有算法（如Algorithm 680、916）的参考值对比验证该方法，并通过log₁₀(Δ)分析相对误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建实变量Dawson积分的有理逼近，以实现y ≤ 10⁻⁶条件下Voigt函数的高精度、快速计算？
• RQ2 与Weideman的Voigt函数有理逼近方法相比，所提出的有理逼近在精度与速度方面表现如何？
• RQ3 在0 ≤ x ≤ 15和0 ≤ y ≤ 10⁻⁶范围内，结合有理逼近与渐近展开的混合算法可实现多高的精度？
• RQ4 该有理逼近是否在不降低Voigt函数整体计算速度的前提下保持高性能？
• RQ5 该方法在多大程度上解决了标准近似方法在极小y值下出现的精度退化问题？

主要发现

• 所提出的Dawson积分有理逼近在0 ≤ x ≤ 15和0 ≤ y ≤ 10⁻⁶范围内实现了超过10⁻¹⁰的精度。
• 算法实现未出现性能下降，即使在处理低y区域时仍保持快速运行。
• 相对误差log₁₀(Δ)在整个区域内均低于-10，如图2所示，证实了精度优于10⁻¹⁰。
• 该方法在速度（快于Weideman方法超过2倍）与精度方面均优于现有方法，尤其在低y区域表现更优。
• 混合方案有效结合了有理逼近（用于y < 10⁻⁶）与渐近展开（用于y ≥ 10⁻⁶），确保对关键区域的完整覆盖。
• 该方法在需要高精度Voigt函数计算的应用中表现出强鲁棒性与实用性，例如在HITRAN分子光谱数据库中的应用。