[论文解读] A rational approximation method for the nonlinear eigenvalue problem

Yousef Saad, Mohamed El-Guide+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Matrix Theory and Algorithms参考文献 50被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种用于求解非线性特征值问题（NLEVPs）的有理逼近方法，通过柯西积分公式将矩阵值函数 $ T(z) $ 近似为有理函数，随后进行结构保持的线性化，从而高效提取复平面上指定围线内的特征值。该方法通过求解基于求积法的矩量矩阵所导出的小规模特征值问题，在计算成本较低的情况下实现高精度，其收敛性和鲁棒性优于现有的 AAA 和 NLEIGS 方法。

ABSTRACT

This paper presents a method for computing eigenvalues and eigenvectors for some types of nonlinear eigenvalue problems. The main idea is to approximate the functions involved in the eigenvalue problem by rational functions and then apply a form of linearization. Eigenpairs of the expanded form of this linearization are not extracted directly. Instead, its structure is exploited to develop a scheme that allows to extract all eigenvalues in a certain region of the complex plane by solving an eigenvalue problem of much smaller dimension. Because of its simple implementation and the ability to work efficiently in large dimensions, the presented method is appealing when solving challenging engineering problems. A few theoretical results are established to explain why the new approach works and numerical experiments are presented to validate the proposed algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒且高效的通用非线性特征值问题求解方法，其中 $ T(z) $ 不是多项式。
• 解决在大规模稀疏问题中，从复平面上指定闭合围线 $ \Gamma $ 内提取所有特征值而不遗漏的挑战。
• 提供一个灵活的框架，允许在多个小区域或一个大区域内计算特征值，平衡精度与计算成本。
• 确保可预测地识别出在区域内被良好逼近的特征值，并避免遗漏感兴趣的区域内的特征值。

提出的方法

• 利用柯西积分公式导出的有理函数，对 NLEVP 中的矩阵值函数 $ T(z) $ 进行逼近。
• 使用 $ m $ 个点的求积规则构造矩量矩阵 $ S_p = \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma z^p T(z)^{-1} Q \, dz $，以捕捉 $ T(z)^{-1} $ 的行为。
• 通过组合矩量矩阵并应用带平移 $ \sigma $ 的平移-求逆变换，构建扩展的线性特征值问题，从而得到规模减小的广义特征值问题。
• 采用多级求积策略，每级 $ \ell $ 使用 $ 2^{\ell-1} $ 个点，通过迭代方式逐步提高逼近精度。
• 在迭代过程中提取的底部块中，对正交化基向量应用瑞利-里茨过程，以提取近似不变子空间。
• 利用线性化问题的结构，仅提取围线内部的特征值，避免完整的谱分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效利用柯西积分公式实现的有理逼近，将一般非线性特征值问题转化为可求解的有理特征值问题？
• RQ2 如何利用由围线积分导出的矩量矩阵，在不计算整个谱的情况下提取指定区域内的特征值？
• RQ3 与 AAA 和 NLEIGS 等成熟算法相比，所提方法在有理逼近中的收敛行为和精度如何？
• RQ4 多级求积策略如何提升大规模稀疏 NLEVP 特征值计算的效率与鲁棒性？
• RQ5 在使用多个小区域（少量极点）与一个大区域（大量极点）之间，计算成本的权衡如何？

主要发现

• 该方法在仅进行 $ L = 6 $ 次外层迭代的情况下，成功计算出以 $ c = -30 $ 为中心、半径为 11.5 的圆内全部 12 个特征值，且精度极高。
• 对于同一问题，AAA 算法需要 7 个插值节点，而 NLEIGS 需要 38 个节点才能达到 $ 10^{-12} $ 的容差，表明所提方法具有更优的收敛性。
• 计算出的特征对的残差范数 $ \|T(\lambda)u\|_\infty $ 低于 $ 10^{-12} $，证实了高精度与向后稳定性。
• 在使用长半轴为 10、短半轴为 1 的椭圆围线时，该方法在 $ m = 8 $ 个求积节点和 $ \sigma = -30 $ 条件下成功提取全部 12 个实特征值，表现出对围线形状的鲁棒性。
• 贝因方法需使用 20 个梯形节点才能达到向后误差 $ \delta = 10^{-10} $，而所提方法以更少的求积点实现了相当的精度，并展现出更好的可扩展性。
• 该方法仅需对 $ S(\sigma) $ 进行一次矩阵分解，因此在 $ A_j $ 矩阵具有相似稀疏结构的大规模稀疏问题中计算效率极高。