[论文解读] A rational map between two threefolds

Kenichiro Kimura|ArXiv.org|Oct 11, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文构建了一个从三个椭圆曲线 $E^3$ 到三空间 $V_{33} \to \mathbb{P}^5$ 的显式主导有理映射，其次数为 3，该三空间由两个三次方程定义。该映射由其坐标环之间的环同态诱导，并实现了由 Tate 猜想预测的几何对应关系，将 $H^3(\widetilde{V}_{33})$ 的 $L$-级数与 $\Gamma_0(9)$ 上的权 4 陈数形式及 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 上的 Hecke 特征联系起来。关键贡献在于通过双有理几何与域扩张显式实现了这一对应关系。

ABSTRACT

A rational map between certain specific threefolds is given in an explicit manner.

研究动机与目标

• 构建三空间 $V_{33}$ 与三个椭圆曲线 $E^3$ 之间的显式有理对应关系，如 Tate 猜想所预测。
• 验证与 $H^3(\widetilde{V}_{33})$ 相关的 $L$-级数，其对应于 $\Gamma_0(9)$ 上的权 4 模形式，与 $E^3$ 的上同调的某一部分相匹配。
• 通过从 $E^3$ 到 $V_{33}$ 的次数为 3 的主导有理映射，实现 $V_{33}$ 的 $H^3$ 中的伽罗瓦表示的几何实现。
• 扩展已知的具有模 $L$-级数的三空间之间的对应关系网络，特别是与 $\Gamma(3)$ 和 $\Gamma_0(9)$-模形式相关的三空间。

提出的方法

• 构造使用仿射块：$V_{33}$ 中 $X_3 \neq 0$ 的仿射部分，由五个变量中的两个三次方程定义。
• 仿射开子集 $(E \setminus \{X_2 = 0\})^3$ 由六个变量中的三个三次方程描述，对应于曲线 $E: x^3 + y^3 + 1 = 0$ 的三个副本的积。
• 从 $\mathbb{Q}[X_0, X_1, X_2, X_4, X_5]$ 到 $(E \setminus \{X_2 = 0\})^3$ 的坐标环定义一个环同态，映射为 $X_0 \mapsto -x_1 y_3$，$X_1 \mapsto -y_1 y_3$，$X_2 \mapsto x_3$，$X_4 \mapsto -x_2 y_3$，$X_5 \mapsto -y_2 y_3$。
• 该同态诱导出从 $E^3$ 到 $V_{33}$ 的主导有理映射，其函数域 $\mathbb{Q}(E^3)$ 在 $\mathbb{Q}(V_{33})$ 上由满足 $y_3^3 + X_2^3 + 1 = 0$ 的 $y_3$ 生成，从而确认了 3 次扩张。
• 通过验证坐标环中的代数独立性与关系，确认该有理映射是主导的，即像在 $V_{33}$ 中稠密，且域扩张次数为 3。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 $V_{33}$ 与 $E^3$ 之间的几何对应关系，可解释其 $H^3$ 上同调群的 $L$-级数匹配？
• RQ2 从 $E^3$ 到 $V_{33}$ 的有理映射能否显式构造？其次数是多少？
• RQ3 由该映射诱导的域扩张 $\mathbb{Q}(E^3)/\mathbb{Q}(V_{33})$ 是否确实为 3 次，符合 3 次有理映射的要求？
• RQ4 该对应关系如何与已知的模形式及 Hecke 特征相关联，特别是 $\Gamma_0(9)$ 上的权 4 形式？
• RQ5 该构造能否推广或与其他具有 $H^3$ 中模伽罗瓦表示的三空间相联系？

主要发现

• 显式构造了一个从 $E^3$ 到 $V_{33}$ 的主导有理映射，其次数为 3，其中 $E$ 是椭圆曲线 $X^3 + Y^3 + Z^3 = 0$。
• 该映射由环同态诱导，其在仿射块上满足 $X_0 \mapsto -x_1 y_3$，$X_1 \mapsto -y_1 y_3$，$X_2 \mapsto x_3$，$X_4 \mapsto -x_2 y_3$，$X_5 \mapsto -y_2 y_3$。
• 函数域 $\mathbb{Q}(E^3)$ 在 $\mathbb{Q}(V_{33})$ 上由 $y_3$ 生成，且满足 $y_3^3 + X_2^3 + 1 = 0$，从而确认该映射的次数为 3。
• 该映射的存在性实现了由 Tate 猜想预测的对应关系，即 $L(H^3(\widetilde{V}_{33}), s) = L(f, s)$，其中 $f$ 是 $\Gamma_0(9)$ 上的权 4 新形式。
• $H^3(\widetilde{V}_{33})$ 的 $L$-级数与 $E^3$ 的上同调的某一部分相匹配，如文献 [4] 的注记 4.5 所述，而该映射为此匹配提供了几何实现。
• 该构造证实了 $V_{33}$ 与 $E^3$ 通过有理对应关系相连，使其模 $L$-函数与 $H^3$ 中的伽罗瓦表示相一致。