[论文解读] A Real Nullstellensatz for Matrices of Non-Commutative Polynomials

Christopher Nelson|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文为自由 $\ast$-代数 $\mathbb{R}\langle x,x^\ast\rangle$ 中非交换多项式的矩阵建立了非交换实 Nullstellensatz，证明了矩阵多项式在有限集的公共零点集上消失当且仅当它属于包含该集合的最小实左子模。本文提出了一种高效、有限步的算法来计算该实根子模，通过结构化 Gröbner 基技术与平方和优化方法，改进了先前的方法。

ABSTRACT

This article extends the classical Real Nullstellensatz to matrices of polynomials in a free $\ast$-algebra $\RR\axs$ with $x=(x_1, \ldots, x_n)$. This result is a generalization of a result of Cimpri\vc, Helton, McCullough, and the author. In the free left $\RR\axs$-module $\RR^{1 imes \ell}\axs$ we introduce notions of the (noncommutative) zero set of a left $\RR\axs$-submodule and of a real left $\RR\axs$-submodule. We prove that every element from $\RR^{1 imes \ell}\axs$ whose zero set contains the intersection of zero sets of elements from a finite subset $S \subset \RR^{1 imes \ell}\axs$ belongs to the smallest real left $\RR\axs$-submodule containing $S$. Using this, we derive a nullstellensatz for matrices of polynomials in $\RR\axs$. The other main contribution of this article is an efficient, implementable algorithm which for every finite subset $S \subset \RR^{1 imes \ell}\axs$ computes the smallest real left $\RR\axs$-submodule containing $S$. This algorithm terminates in a finite number of steps. By taking advantage of the rigid structure of $\RR\axs$, the algorithm presented here is an improvement upon the previously known algorithm for $\RR\axs$.

研究动机与目标

• 将经典的实 Nullstellensatz 扩展至非交换情形，特别是针对自由 $\ast$-代数中的非交换多项式矩阵。
• 定义并刻画 $\mathbb{R}^{1\times\ell}\langle x,x^\ast\rangle$ 中左子模的零点集以及实左子模的概念。
• 建立非交换实 Nullstellensatz 的类比：矩阵多项式在有限集的公共零点集上消失当且仅当它属于由该集合生成的子模的实根。
• 开发一种有限且可实现的算法，用于计算包含给定有限个矩阵多项式的最小实左子模。
• 通过利用 $\mathbb{R}\langle x,x^\ast\rangle$ 的刚性代数结构，并在 Gröbner 基框架内结合平方和技术，改进现有算法。

提出的方法

• 引入 $\mathbb{R}^{1\times\ell}\langle x,x^\ast\rangle$ 中左子模零点集的概念，并通过平方和上的正定性条件定义实左子模。
• 基于约化的左 Gröbner 基，使用递归算法计算由有限个矩阵多项式生成的左子模的实根。
• 采用线性矩阵不等式（LMI）形式化方法，测试在精心构造的单项式基 $\mathfrak{C}^{(i)}$ 的张成空间中是否存在非平凡的平方和。
• 在每次迭代中，利用半定规划技术检测是否存在形如 $M_i^* L_i(\alpha,\beta) M_i$ 的平方和，其中 $L_i$ 为线性铅笔。
• 若存在此类平方和，则将对应的多项式向量加入生成集并重新计算约化的左 Gröbner 基；否则，算法终止并输出实根。
• 通过使用次数界和单项式不可整除性条件，确保算法的终止性与正确性，依赖于 $\mathbb{R}^{1\times\ell}\langle x,x^\ast\rangle$ 中齐次分量的有限维性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将经典的实 Nullstellensatz 扩展至自由 $\ast$-代数中非交换多项式矩阵的情形？
• RQ2 在非交换情形下，实左子模的恰当概念是什么，它与零点集有何关系？
• RQ3 是否存在一种算法程序，用于计算 $\mathbb{R}\langle x,x^\ast\rangle$ 中给定有限个矩阵多项式生成的最小实左子模？
• RQ4 如何将平方和技术整合进 Gröbner 基框架，以在非交换代数中高效计算实根？
• RQ5 所提出的算法是否在有限步内终止，并正确计算实根子模？

主要发现

• 本文证明了非交换实 Nullstellensatz：矩阵多项式 $q$ 在有限集 $S$ 的公共零点集上消失当且仅当 $q$ 属于包含 $S$ 的最小实左子模。
• 由于 $\mathbb{R}^{1\times\ell}\langle x,x^\ast\rangle$ 中齐次分量的有限维性，计算实根子模的算法在有限步内终止。
• 算法的每次迭代严格扩大了当前基生成的左模，确保收敛。
• 算法保持次数界：若输入多项式的次数不超过 $d$，则所有中间多项式及基 $\mathfrak{C}^{(i)}$ 中的单项式次数均不超过 $d-1$。
• 算法通过线性矩阵不等式（LMI）可行性测试正确识别是否存在非平凡平方和，若存在，则将对应多项式向量加入生成集。
• 当 LMI 无解时，算法终止并输出当前生成集即为实根子模的约化左 Gröbner 基。