[论文解读] A real stable extension of the Vamos matroid polynomial

Sam Burton, Cynthia Vinzant+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文引入了Vámos拟阵的10元素扩展，记为$V_{10}$，并利用平方和分解与Wagner和Wei的准则，证明其基生成多项式是实稳定的。关键结果是$V_{10}$是一个非可表示拟阵，具有半平面性质，且其任意次幂均无法具有确定的行列式表示，从而扩展了关于Vámos拟阵的早期结果，并否定了Lax猜想的潜在推广。

ABSTRACT

In 2004, Choe, Oxley, Sokal and Wagner established a tight connection between matroids and multiaffine real stable polynomials. Recently, Branden used this theory and a polynomial coming from the Vamos matroid to disprove the generalized Lax conjecture. Here we present a 10-element extension of the Vamos matroid and prove that its basis generating polynomial is real stable (i.e. that the matroid has the half-plane property). We do this via large sums of squares computations and a criterion for real stability given by Wagner and Wei. Like the Vamos matroid, this matroid is not representable over any field and no power of its basis generating polynomial can be written as the determinant of a linear matrix with positive semidefinite Hermitian forms.

研究动机与目标

• 将Vámos拟阵从8个元素扩展至10个元素，同时保持或推广其关键稳定性性质。
• 研究扩展后拟阵的基生成多项式是否仍为实稳定。
• 确定扩展后的拟阵是否保持非可表示性以及缺乏确定行列式表示的特性，如同原始Vámos拟阵一样。
• 提供一个新的广义Lax猜想反例，使用一个无法表示为具有正半定Hermitian形式的线性矩阵行列式的稳定多项式。

提出的方法

• 通过在Vámos拟阵中增加一对元素并添加一个新的排除4元组$\{1,2,9,10\}$、$\{7,8,9,10\}$，同时仅移除原始的五个排除集合，构造一个10元素拟阵$V_{10}$。
• 定义基生成多项式$f_{10}(x) = \sum_{B \in \mathcal{B}} \prod_{i \in B} x_i$，其中$\mathcal{B}$是集合$\{1,\dots,10\}$中排除指定7个集合后的所有4元素子集的集合。
• 应用Wagner和Wei提出的实稳定性准则，将问题简化为验证与该多项式相关的某个对称矩阵是否为半正定。
• 进行大规模平方和（SOS）计算，通过利用对称性与计算代数几何技术，验证多项式为实稳定。
• 利用实稳定性蕴含半平面性质的事实，而半平面性质是多重仿射稳定多项式理论中的关键条件。
• 证明$f_{10}(x)$的任意次幂均无法表示为具有正半定Hermitian形式的线性矩阵的行列式，从而扩展了Brändén关于$f_8(x)$的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Vámos拟阵能否被扩展至10个元素，使其基生成多项式仍为实稳定？
• RQ2 尽管$V_{10}$在任何域上均不可表示，它是否仍保持半平面性质？
• RQ3 即使在更高次幂下，$V_{10}$的基多项式是否仍无法表示为具有正半定Hermitian形式的线性矩阵的行列式？
• RQ4 平方和方法能否有效用于验证由拟阵导出的高次、对称多重仿射多项式的实稳定性？
• RQ5 该扩展拟阵是否提供了广义Lax猜想的新反例？

主要发现

• 通过从8元素Vámos拟阵中排除七个特定4元素子集而定义的10元素拟阵$V_{10}$，是一个有效的拟阵，其基为$\mathcal{B}$。
• 通过大规模平方和计算与Wagner-Wei稳定性准则，确认$V_{10}$的基生成多项式$f_{10}(x)$为实稳定。
• 该拟阵$V_{10}$在任何域上均不可表示，扩展了原始Vámos拟阵的不可表示性。
• $f_{10}(x)$的任意次幂均无法表示为具有正半定Hermitian形式的线性矩阵的行列式，意味着其缺乏确定的行列式表示。
• 该结果证实广义Lax猜想不适用于此类拟阵，扩展了Brändén基于$f_8(x)$的早期反例。
• 多项式$f_{10}(x)$是对称且多重仿射的，其稳定性通过对其系数导出的半正定矩阵的计算验证得以确立。