[论文解读] A Realizable GAS-based Quantum Algorithm for Traveling Salesman Problem

Jieao Zhu, Yihuai Gao+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文提出了一种可实现的基于Grover自适应搜索（GAS）的量子算法，用于解决旅行商问题（TSP），该算法可确保获得可行解并减少量子比特使用。通过引入一种基于已证明的环路判定定理的新型哈密顿回路检测（HCD）量子 oracle，以及一种锚定寄存器策略，作者在IBM的Qiskit平台上仅使用31个量子比特，即实现了对7个节点TSP实例最优解的86.71%成功率。

ABSTRACT

The paper proposes a quantum algorithm for the traveling salesman problem (TSP) based on the Grover Adaptive Search (GAS), which can be successfully executed on IBM's Qiskit library. Under the GAS framework, there are at least two fundamental difficulties that limit the application of quantum algorithms for combinatorial optimization problems. One difficulty is that the solutions given by the quantum algorithms may not be feasible. The other difficulty is that the number of qubits of current quantum computers is still very limited, and it cannot meet the minimum requirements for the number of qubits required by the algorithm. In response to the above difficulties, we designed and improved the Hamiltonian Cycle Detection (HCD) oracle based on mathematical theorems. It can automatically eliminate infeasible solutions during the execution of the algorithm. On the other hand, we design an anchor register strategy to save the usage of qubits. The strategy fully considers the reversibility requirement of quantum computing, overcoming the difficulty that the used qubits cannot be simply overwritten or released. As a result, we successfully implemented the numerical solution to TSP on IBM's Qiskit. For the seven-node TSP, we only need 31 qubits, and the success rate in obtaining the optimal solution is 86.71%.

研究动机与目标

• 解决将量子算法应用于组合优化时面临的两大挑战：不可行解和高量子比特需求。
• 开发一种适用于近场量子硬件的实用、可实现的NP难旅行商问题（TSP）量子算法。
• 确保算法仅生成有效哈密顿回路，而无需依赖预计算的合法回路。
• 通过可逆锚定寄存器策略最小化量子比特使用，避免量子比特覆盖或释放问题。
• 在IBM的Qiskit平台上展示一种可工作、经数值验证的量子TSP求解器实现。

提出的方法

• 提出环路判定定理，将哈密顿回路验证问题数学上转化为可测试的量子电路问题。
• 基于环路判定定理设计改进的HCD量子 oracle，以更少的量子电路层级和更少的量子比特检测有效回路。
• 引入锚定寄存器策略，以保持量子比特的可逆性，并通过高效复用辅助量子比特来减少总量子比特数量。
• 使用格雷码遍历的量子寻址多路复用器，将Toffoli门数量从$\mathcal{O}(2^n)$降低至$\mathcal{O}(2^n)$，实现线性门数缩放。
• 将HCD量子 oracle与成本比较逻辑集成到Grover自适应搜索框架中，通过受控相位标记和逆计算步骤保持量子相干性。
• 采用类似相位估计算法的结构，结合受控-U操作和逆量子傅里叶变换，以估计旅行成本并应用阈值过滤。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种TSP的量子算法，以保证仅生成可行（哈密顿）回路，而无需预先过滤所有合法回路？
• RQ2 在可逆量子计算框架下，如何最小化组合优化问题的量子比特开销？
• RQ3 Grover自适应搜索框架能否在当前的NISQ设备上成功适配TSP，并实现高成功率？
• RQ4 在真实量子硬件上实现功能完整且抗错误的TSP求解器，所需的最小量子比特数是多少？
• RQ5 能否实现一种完全自动化、自验证的量子电路，在搜索过程中检测并排除非法回路？

主要发现

• 所提出的HCD量子 oracle 通过利用环路判定定理，在量子搜索过程中成功消除了不可行解，确保仅考虑有效哈密顿回路。
• 对于7个节点的TSP实例，该算法仅使用31个量子比特，即实现了86.71%的最优解测量成功率。
• 锚定寄存器策略通过实现辅助量子比特的可逆复用，显著减少了量子比特使用，克服了量子电路中不可复用量子比特的限制。
• 量子寻址多路复用器设计将Toffoli门数量从指数级降低至线性，提升了算法的可扩展性。
• 该算法已在IBM的Qiskit平台上成功实现并测试，证明了其在真实量子硬件上的可行性。
• 该方法通过将回路验证直接嵌入量子电路，避免了预先计算所有有效哈密顿回路这一本身即为NP难的问题。