[论文解读] A rearrangement distance for fully-labelled trees

Giulia Bernardini, Paola Bonizzoni+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对完全标记树（即每个顶点均有唯一标签）的新重排距离度量，通过结合拓扑改变操作（链接-切割）与标签置换操作。证明该问题在一般情况下为 NP-难，但具有固定参数可追踪性，并在其中一个树为二叉树时提供了 4-近似算法，从而实现了在癌症演化研究中高效比较肿瘤系统发育树。

ABSTRACT

The problem of comparing trees representing the evolutionary histories of cancerous tumors has turned out to be crucial, since there is a variety of different methods which typically infer multiple possible trees. A departure from the widely studied setting of classical phylogenetics, where trees are leaf-labelled, tumoral trees are fully labelled, i.e., \emph{every} vertex has a label. In this paper we provide a rearrangement distance measure between two fully-labelled trees. This notion originates from two operations: one which modifies the topology of the tree, the other which permutes the labels of the vertices, hence leaving the topology unaffected. While we show that the distance between two trees in terms of each such operation alone can be decided in polynomial time, the more general notion of distance when both operations are allowed is NP-hard to decide. Despite this result, we show that it is fixed-parameter tractable, and we give a 4-approximation algorithm when one of the trees is binary.

研究动机与目标

• 解决从癌症测序数据推断出的多个完全标记进化树的比较挑战，其中所有节点（而不仅叶节点）均以突变标记。
• 定义一种新的重排距离度量，同时考虑完全标记树中的拓扑变化（链接-切割）与标签置换。
• 建立新距离度量的计算复杂度界限，表明其在一般情况下为 NP-难，但具有固定参数可追踪性。
• 当输入树之一为二叉树时，提供一个多项式时间的 4-近似算法，以支持在肿瘤进展分析中的实际应用。

提出的方法

• 定义两种原子操作：(1) 链接-切割以修改树的拓扑结构，(2) 在不改变拓扑的前提下置换顶点标签。
• 证明仅使用每种操作单独时距离可多项式时间计算，但组合距离为 NP-难。
• 利用引理 2.1 重新排序操作：在最优变换序列中，所有置换操作均先于所有链接-切割操作。
• 采用参数为 $k$ 的有界搜索树技术，探索所有大小不超过 $k$ 的标签置换序列，其数量上限为 $O((4k)^{2k^2})$ 条序列。
• 对每个生成的中间树 $T^*$，利用引理 3.1 在 $O(n)$ 时间内计算其与目标树 $T_2$ 的链接-切割距离。
• 将 $d_\pi(T_1, T^*)$ 与 $d_\ell(T^*, T_2)$ 组合，计算总距离，并在所有 $T^*$ 中追踪最小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为完全标记树（即每个顶点均有唯一标签）定义一种有意义的重排距离度量，与经典系统发育学中仅叶节点标记的情况形成对比？
• RQ2 计算将一棵完全标记树通过组合拓扑与标签操作变换为另一棵完全标记树的最小操作数的问题是否具有计算可追踪性？
• RQ3 完全标记树的重排距离的计算复杂度如何，特别是在顶点度数有界或其中一棵树为二叉树的情况下？
• RQ4 当输入树之一为二叉树时，能否设计出常数因子近似算法来求解重排距离？

主要发现

• 当同时允许链接-切割与标签置换操作时，两棵完全标记树之间的重排距离计算为 NP-难。
• 该问题关于距离参数 $k$ 具有固定参数可追踪性，可在 $O((4k)^{2k^2}n)$ 时间内求解。
• 当两棵输入树中有一棵为二叉树时，存在一个 4-近似算法，其基础为链接-切割距离的近似与不等式 $d(T_1,T_2) \geq \frac{d_\ell(T_1,T_2)}{4}$。
• 跨树的顶点对家族划分 $\mathcal{P}$ 提供了一个下界：$d(T_1,T_2) \geq |\mathcal{P}|/2$，该下界用于在固定参数算法中剪枝搜索空间。
• 对于任意中间树 $T^*$，链接-切割距离 $d_\ell(T^*, T_2)$ 可在 $O(n)$ 的线性时间内计算，从而在搜索过程中实现高效评估。
• 最优变换序列可重新排序，使得所有标签置换操作均发生在任何拓扑变化之前，从而简化了算法设计。