[论文解读] A recovery of the time average of continuous and discrete time functions

Emanuel Gluskin, Shmuel Miller|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 5被引用 1

一句话总结

本文将拉普拉斯变换与z变换的广义终值定理扩展并完成证明，以处理具有明确定义时间平均值的连续和离散时间函数，即使这些函数在无穷远处不收敛到极限值。关键贡献是通过变换理论建立了一个严谨的框架来计算时间平均值，辅以物理解释和示例说明。

ABSTRACT

The determination of the time averages of continuous functions, or discrete time sequences is important for various problems in physics and engineering, and the generalized final-value theorems of the Laplace and z-transforms, relevant to functions and sequences not having a limit at infinity, can be very helpful in this determination. In the present contribution, we complete the proofs of these theorems and extend them to more general time functions and sequences with a well-defined average. Besides formal proofs, some simple examples and heuristic and pedagogical comments on the physical nature of the limiting processes defining the averaging are given.

研究动机与目标

• 完成并形式化适用于在无穷远处无逐点极限的函数的拉普拉斯变换与z变换广义终值定理的证明。
• 将这些定理扩展至更广泛的具有明确定义时间平均值的时间函数与序列类别。
• 为物理与工程应用中时间平均值的计算，提供一个数学严谨但教学友好的框架。
• 通过启发式与直观的解释，阐明在通过变换理论定义时间平均值时所涉及极限过程的物理意义。

提出的方法

• 利用分布理论与渐近分析，推导连续时间函数拉普拉斯变换的广义终值定理。
• 对离散时间序列的z变换应用类似推理，确保与连续时间结果的一致性。
• 引入在变换原点（s=0 或 z=1）处的行为可恢复函数时间平均值的条件。
• 使用分布极限与Cesàro可和性概念，处理在无穷远处不逐点收敛的函数。
• 通过简单的解析示例验证该方法，展示尽管函数本身不收敛，其平均值仍能收敛。
• 提供对平均过程的物理解释，将数学形式化与可观测的物理现象联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当连续时间函数在无穷远处无极限时，如何严格计算其时间平均值？
• RQ2 拉普拉斯变换广义终值定理在恢复时间平均值时需满足哪些条件？
• RQ3 z变换的终值定理在多大程度上可扩展至具有振荡或非收敛行为的离散序列？
• RQ4 通过变换理论定义时间平均值时所用极限过程的物理意义是什么？
• RQ5 分布理论与Cesàro方法在多大程度上提升了终值定理对非收敛信号的适用性？

主要发现

• 拉普拉斯变换与z变换的广义终值定理即使在函数在无穷远处不逐点收敛时，也能成功恢复函数与序列的时间平均值。
• 在适当的正则性条件下，时间平均值由拉普拉斯变换或z变换在s=0或z=1附近的性质决定。
• 该方法在数学上是严谨的，并将终值定理的适用范围扩展至标准收敛假设之外。
• 理论结果通过示例得到支持，这些示例一致展示了对振荡与非衰减信号时间平均值的恢复。
• 启发式解释表明，平均过程对应于长期的、类似系综的行为，与电气电路与机械振子等系统中的物理直觉一致。
• 该框架为连续与离散时间系统提供统一方法，增强了其在工程与物理建模中的实用性。