[论文解读] A rectifiability result for finite-perimeter sets in Carnot groups

Sebastiano Don, Enrico Le Donne+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 11

一句话总结

本文通过引入一种推广内在利普希茨图的锥性质，为卡诺群中的有限全变差集建立了新的可矩形化概念。证明了任意有限全变差集的约化边界可被可数个具有该锥性质的集合覆盖，且当锥包含水平方向时，可通过内在利普希茨图实现可矩形化。该结果适用于所有拟直纹群，包括第一类与第二类拟直纹群。

ABSTRACT

In the setting of Carnot groups, we are concerned with the rectifiability problem for subsets that have finite sub-Riemannian perimeter. We introduce a new notion of rectifiability that is, possibly, weaker than the one introduced by Franchi, Serapioni, and Serra Cassano. Namely, we consider subsets $Γ$ that, similarly to intrinsic Lipschitz graphs, have a cone property: there exists an open dilation-invariant subset $C$ whose translations by elements in $Γ$ don't intersect $Γ$. However, a priori the cone $C$ may not have any horizontal directions in its interior. In every Carnot group, we prove that the reduced boundary of every finite-perimeter subset can be covered by countably many subsets that have such a cone property. The cones are related to the semigroups generated by the horizontal half-spaces determined by the normal directions. We further study the case when one can find horizontal directions in the interior of the cones, in which case we infer that finite-perimeter subsets are countably rectifiable with respect to intrinsic Lipschitz graphs. A sufficient condition for this to hold is the existence of a horizontal one-parameter subgroup that is not an abnormal curve. As an application, we verify that this property holds in every filiform group, of either first or second kind.

研究动机与目标

• 解决一般卡诺群中有限全变差集的可矩形化问题，其中经典欧几里得可矩形化方法失效。
• 引入一种基于锥性质的新可矩形化概念，该概念可能更弱，且推广了内在利普希茨图。
• 确定在卡诺群中，有限全变差集通过内在利普希茨图实现可矩形化的条件。
• 在特定卡诺群类中验证可矩形化条件，特别是第一类与第二类拟直纹群。
• 阐明水平方向与非异常曲线在实现可矩形化中的作用。

提出的方法

• 为卡诺群中的子集引入一种新的锥性质：若存在一个开的、在伸缩下不变的锥 C，使得 Γ 中元素的左平移不与 Γ 相交，则称集合 Γ 具有锥性质。
• 将锥 C 与约化边界法向方向对应的水平半空间所生成的半群联系起来。
• 使用爆破分析方法，证明任意有限全变差集约化边界上的每一点都存在具有恒定水平法向的切触集。
• 证明在每个卡诺群中，约化边界均可被可数个满足新锥性质的集合覆盖。
• 建立若锥 C 的内部包含水平方向，则该集合可通过内在利普希茨图实现可矩形化。
• 利用李代数自同构理论分析拟直纹群，并验证非异常水平一维子群的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般卡诺群中，有限全变差集的约化边界是否可被可数个具有广义锥性质的集合覆盖？
• RQ2 当锥中包含水平方向时，其在何种条件下可推出通过内在利普希茨图的可矩形化？
• RQ3 第一类与第二类拟直纹群是否满足通过内在利普希茨图实现可矩形化的条件？
• RQ4 是否存在非异常水平一维子群是否为卡诺群中通过内在利普希茨图实现可矩形化的充分条件？
• RQ5 拟直纹李代数的自同构群如何与非异常水平直线的存在性相关联？

主要发现

• 在每个卡诺群中，任意有限全变差集的约化边界均可被可数个满足新锥性质的集合覆盖。
• 当与约化边界关联的锥在其内部包含水平方向时，该集合可通过内在利普希茨图实现可矩形化。
• 存在非异常水平一维子群是通过内在利普希茨图实现可矩形化的充分条件。
• 所有第一类与第二类拟直纹群均满足非异常性条件，因此这些群中的有限全变差集均可通过内在利普希茨图实现可矩形化。
• 第一类拟直纹群具有三维的分次自同构空间，而第二类拟直纹群具有二维的分次自同构空间，从而可区分其作为非同构李群的性质。
• 无一拟直纹群是潘苏刚性（Pansu-rigid）的，因为它们的分次自同构群不仅包含伸缩变换。