[论文解读] A recursive bijective approach to counting permutations containing 3-letter patterns

David Callan|ArXiv.org|Nov 25, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出了一种递归双射方法，用于计算包含指定3字母模式的排列数，通过基于模式重叠的案例分析和双射，将复杂情况简化为较简单的情况。该方法为已知公式提供了组合证明，并推导出最多包含四个123或132模式的排列数的显式表达式，表明这些计数是2的幂与Ballot数的线性组合，支持了关于所有k值下此类计数均为代数函数的猜想。

ABSTRACT

We present a method, illustrated by several examples, to find explicit counts of permutations containing a given multiset of three letter patterns. The method is recursive, depending on bijections to reduce to the case of a smaller multiset, and involves a consideration of separate cases according to how the patterns overlap. Specifically, we use the method (i) to provide combinatorial proofs of Bona's formula {2n-3}choose{n-3} for the number of n-permutations containing one 132 pattern and Noonan's formula 3/n {2n}choose{n+3} for one 123 pattern, (ii) to express the number of n-permutations containing exactly k 123 patterns in terms of ballot numbers for k<=4, and (iii) to express the number of 123-avoiding n-permutations containing exactly k 132 patterns as a linear combination of powers of 2, also for k<=4. The results strengthen the conjecture that the counts are algebraic for all k.

研究动机与目标

• 开发一种递归双射方法，用于计算包含给定3字母模式多重集的排列数。
• 为Bóna关于132模式出现次数的公式和Noonan关于123模式出现次数的公式提供组合证明。
• 将恰好包含k个123模式的n-排列数用Ballot数表示，其中k ≤ 4。
• 将恰好包含k个132模式的123-避免n-排列数表示为2的幂的线性组合，其中k ≤ 4。
• 加强猜想：对于所有k，此类排列计数均为代数函数。

提出的方法

• 该方法使用递归双射，将涉及重叠3字母模式的计数问题简化为更小的子问题。
• 根据模式重叠方式对情况进行分类，特别是通过分析不同模式字母的数量及其位置和数值关系。
• 对于每种情况，将排列分解为子词W₁、W₂和一个中心模式段，其余元素根据其相对值划分为集合。
• 将W₁和W₂的简化形式映射到已知的排列类（例如Dyck路径或Ballot路径），利用已知的双射映射到格路。
• 该方法利用Ballot数Cₙ^(k) = (k/(2n+k)) × binomial(2n+k, n)来计数第一象限格路，这些格路对应于特定的排列类。
• 通过对其关键参数（如中心模式字母的值b）的所有有效值求和，计算总数，其中每种情况的大小计算基于二项式系数和2的幂。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地应用递归双射方法来计算包含3字母模式多重集的排列数，特别是当模式重叠时？
• RQ2 对于较小的k，恰好包含k个123模式的排列的组合结构是什么？
• RQ3 如何枚举123-避免排列中恰好包含k个132模式的排列，其计数的代数形式是什么？
• RQ4 包含k个3字母模式的排列计数是否表现出代数结构，如k ≤ 4时的结果所示？
• RQ5 已知的单模式出现次数公式（如Bóna和Noonan的公式）能否通过统一的、双射的、递归的框架重新推导？

主要发现

• 恰好包含一个132模式的n-排列数由公式(2n−3 choose n−3)给出，通过组合双射得到证实。
• 恰好包含一个123模式的n-排列数由(3/n) × binomial(2n, n+3)给出，也通过组合方法证明。
• 对于k ≤ 4，恰好包含k个123模式的n-排列数可表示为Ballot数的线性组合。
• 对于k ≤ 4，123-避免的n-排列中恰好包含k个132模式的排列数可表示为2的幂的线性组合。
• 恰好包含四个132模式的n-排列总数由包含二项式系数和2的幂的项之和给出：2×binomial(n−4,1)×2ⁿ⁻⁵ + 3×binomial(n−4,2)×2ⁿ⁻⁶ + binomial(n−4,3)×2ⁿ⁻⁷ + binomial(n−5,3)×2ⁿ⁻¸⁸ + binomial(n−5,4)×2ⁿ⁻⁹。
• 结果支持更广泛的猜想：对于所有k，恰好包含k个任意3字母模式的n-排列数是n的代数函数。