[论文解读] A reference for categorical structures on $\mathbf{Poly}$

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文在范畴 Poly 中为多项式函子建立了范畴基础，通过余自由余典范函子 c 引入了自由幺半群构造和 lax 幺半群结构。证明了关键同构，如 $\mathfrak{c}_p \cong (p \triangleleft \mathfrak{c}_p) \times \mathcal{y}$ 和 $\mathcal{y} + (p \triangleleft \mathfrak{m}_p) \cong \mathfrak{m}_p$，表明多项式上的自由 $\triangleleft$-幺半群是归纳系统的一个上确界，且所有结构映射均为笛卡尔映射。

ABSTRACT

In this document, we collect a list of categorical structures on the category $\mathbf{Poly}$ of polynomial functors. There is no implied claim that this list is in any way complete. It includes: infinitely many monoidal structures, all but one of which is symmetric, closed, and distributes over $+$, several of which interact duoidally; it also includes a right-coclosure and two indexed left coclosures; it also includes various adjunctions of which $\mathbf{Poly}$ is a part, including the free monad and cofree comonad and their interaction with various monoidal structures.

研究动机与目标

• 在多项式函子范畴 Poly 中形式化范畴结构。
• 在多项式函子上定义并分析自由 $\triangleleft$-幺半群（自由单子）构造。
• 建立关于余自由余典范函子 $\mathfrak{c}$ 与自由幺半群 $\mathfrak{m}_p$ 的自然同构。
• 刻画这些构造在上确界与笛卡尔映射下的行为。
• 为理解 Poly 中的 lax 幺半群与余幺半群结构提供系统性框架。

提出的方法

• 将自由 $\triangleleft$-幺半群 $\mathfrak{m}_p$ 构造为序数索引系统 $q_\alpha$ 上的上确界。
• 归纳定义 $q_\alpha$：$q_0 = \mathcal{y}$，$q_{\alpha+1} = \mathcal{y} + (q \triangleleft q_\alpha)$，对极限序数有 $q_\beta = \operatorname{colim}_{\alpha<\beta} q_\alpha$。
• 使用自然映射 $g_\alpha: q_\alpha \to q_{\alpha+1}$，归纳定义为 $g_0 = \text{incl}$ 且 $g_{\alpha+1} = \mathcal{y} + (q \triangleleft g_\alpha)$。
• 证明所有映射 $g_\alpha$ 均为笛卡尔映射，确保与 Poly 的范畴结构相容。
• 建立同构 $\mathcal{y} + (p \triangleleft \mathfrak{m}_p) \cong \mathfrak{m}_p$ 作为关键结构恒等式。
• 证明对任意集合 $X$，有 $\mathfrak{m}_p \triangleleft X \cong \mathfrak{m}_{p+X} \triangleleft 0$，将自由代数与多项式扩张联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 Poly 中的多项式函子上系统地定义自由 $\triangleleft$-幺半群构造？
• RQ2 余自由余典范函子 $\mathfrak{c}$ 的范畴结构是什么？它如何与幺半群运算相互作用？
• RQ3 上确界与序数索引的归纳系统在 Poly 中构造自由幺半群中扮演何种角色？
• RQ4 同构 $\mathfrak{c}_p \cong (p \triangleleft \mathfrak{c}_p) \times \mathcal{y}$ 与 $\mathcal{y} + (p \triangleleft \mathfrak{m}_p) \cong \mathfrak{m}_p$ 如何从范畴论角度产生？
• RQ5 $\mathfrak{m}_p \triangleleft X$ 与 $\mathfrak{m}_{p+X} \triangleleft 0$ 之间在自由代数方面有何关系？

主要发现

• 多项式 $p$ 上的自由 $\triangleleft$-幺半群 $\mathfrak{m}_p$ 构造为序数索引归纳系统 $q_\alpha$ 上的上确界，其中 $q_0 = \mathcal{y}$ 且 $q_{\alpha+1} = \mathcal{y} + (q \triangleleft q_\alpha)$。
• 归纳系统中所有过渡映射 $g_\alpha: q_\alpha \to q_{\alpha+1}$ 均为笛卡尔映射，确保与 Poly 的范畴结构相容。
• 同构 $\mathcal{y} + (p \triangleleft \mathfrak{m}_p) \cong \mathfrak{m}_p$ 成立，将 $\mathfrak{m}_p$ 表征为函子 $X \mapsto \mathcal{y} + (p \triangleleft X)$ 的初始代数。
• 余自由余典范函子 $\mathfrak{c}$ 满足 $\mathfrak{c}_p \cong (p \triangleleft \mathfrak{c}_p) \times \mathcal{y}$，反映了其余幺半群性质。
• 存在自然双射 $\mathfrak{m}_p \triangleleft X \cong \mathfrak{m}_{p+X} \triangleleft 0$，表明集合 $X$ 上的自由 $p$-代数同构于空集上的自由 $(p+X)$-代数。
• 函子 $\mathfrak{c}: \mathbf{Poly} \to \mathbf{Poly}$ 关于 $(\mathbin{\triangleleft}, \otimes)$ 结构是 lax 幺半群的，且存在自然的余幺半群同态 $\mathfrak{c}_{[p,q]} \otimes \mathfrak{c}_{[p',q']} \to \mathfrak{c}_{[p+p', q+q']}$。