[论文解读] A refined Poisson summation formula for certain Braverman-Kazhdan spaces

Jayce R. Getz, Baiying Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文为与辛群相关的布雷尔曼-卡兹丹空间建立了改进的泊松求和公式，消除了先前工作中对解析条件的限制。它构建了一个具有严格解析控制的施瓦茨空间，并证明该公式对这一空间中的所有函数均成立，推进了非交换泊松求和猜想，并实现了兰德斯L-函数的梅雷罗莫尔福连续与函数方程。

ABSTRACT

Braverman and Kazhdan introduced influential conjectures generalizing the Fourier transform and the Poisson summation formula. Their conjectures should imply that quite general Langlands $L$-functions have meromorphic continuations and functional equations as predicted by Langlands' functoriality conjecture. As evidence for their conjectures, Braverman and Kazhdan considered a setting related to the so-called doubling method in a later paper and proved the corresponding Poisson summation formula under restrictive assumptions on the functions involved. In this paper we consider a special case of the setting of the later paper, and prove a refined Poisson summation formula that eliminates the restrictive assumptions of loc. cit. Along the way we provide analytic control on the Schwartz space we construct; this analytic control was conjectured to hold (in a slightly different setting) in the work of Braverman and Kazhdan.

研究动机与目标

• 消除布雷尔曼与卡兹丹早期针对辛布雷尔曼-卡兹丹空间的泊松求和公式中对测试函数的限制性解析假设。
• 在空间 $X = [P,P]\backslash \mathrm{Sp}_{2n}$ 上构建一个具有严格解析控制的施瓦茨空间，证实 [BK02] 中的猜想。
• 为 $X(\mathbb{A}_F)$ 上的自守形式建立全局泊松求和公式，且对改进的施瓦茨空间中的所有函数均成立。
• 通过非交换傅里叶分析，为加倍法提供几何与表示论框架。
• 支持更广泛的猜想：非交换泊松求和蕴含兰德斯L-函数的梅雷罗莫尔福连续与函数方程。

提出的方法

• 利用普吕克嵌入与自守表示理论，在布雷尔曼-卡兹丹空间 $X = [P,P]\backslash \mathrm{Sp}_{2n}$ 上构造施瓦茨空间 $\mathcal{S}(X(\mathbb{A}_F),K)$。
• 通过 Weyl 群元素 $w_0$ 的作用与正规化交错算子，定义该空间上的傅里叶变换 $\mathcal{F}_{\psi,K}$。
• 通过证明在阿基米德与非阿基米德位置上矩阵系数的快速衰减，建立对施瓦茨空间的解析控制。
• 利用Eisenstein级数理论与标准L-函数的梅雷罗莫尔福连续性，验证交错算子的收敛性与有界性。
• 应用 $\omega$-微分算子方法，控制截面的增长，证明其全纯性与快速衰减。
• 通过证明 $f$ 在 $X(F)$ 上的和与 $\widehat{f}$ 在 $X(F)$ 上的和相等，建立全局泊松求和公式，利用改进的施瓦茨空间与解析控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 布雷尔曼-卡兹丹空间的泊松求和公式是否可在不施加对测试函数的限制性解析假设下建立？
• RQ2 空间 $X = [P,P]\backslash \mathrm{Sp}_{2n}$ 上的施瓦茨空间是否具有 [BK02] 中所猜想的解析控制（如快速衰减）？
• RQ3 改进的施瓦茨空间是否可用于证明一个能捕捉L-函数的留数与函数方程的全局泊松求和公式？
• RQ4 正规化交错算子在改进的施瓦茨空间上如何表现？它们是否保持所需的增长条件？
• RQ5 全局求和公式是否对所构造施瓦茨空间中的所有函数（包括具有非平凡边界项的函数）均成立？

主要发现

• 本文在布雷尔曼-卡兹丹空间 $X = [P,P]\backslash \mathrm{Sp}_{2n}$ 上构造了具有完整解析控制的施瓦茨空间 $\mathcal{S}(X(\mathbb{A}_F),K)$，证实了 [BK02] 中的猜想。
• 傅里叶变换 $\mathcal{F}_{\psi,K}$ 定义良好，并将 $\mathcal{S}(X(\mathbb{A}_F),K)$ 映射到其自身，确保该设定下泊松求和公式的合理性。
• 全局泊松求和公式成立：对所有 $f \in \mathcal{S}(X(\mathbb{A}_F),K)$，有 $\sum_{\gamma \in X(F)} f(\gamma) = \sum_{\gamma \in X(F)} \widehat{f}(\gamma)$，且对 $f$ 无限制性假设。
• 矩阵系数 $M_{w_0}\Phi_{\chi_s}(I_{2n})$ 在 $\mathrm{Re}(s) \geq n^2/2$ 时一致有界，证明了阿基米德情形下的收敛性与解析控制。
• 该证明表明 $\Phi_{\chi_s}$ 是一个优良截面，其有限半范数 $|\Phi_{\chi_s}(g)|_{A,B,P}$ 与 $|M_{w_0}\Phi_{\chi_s}(g)|_{A,B,P}$ 确保了所需的衰减性与全纯性。
• 该方法为加倍法提供了几何与表示论解释，将其与非交换泊松求和及L-函数的梅雷罗莫尔福连续性联系起来。