[论文解读] A refinement of Cayley's formula for trees

Ira M. Gessel, Seunghyun Seo|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过引入多项式 $ P_n(a,b,c) = c\prod_{i=1}^{n-1}(ia + (n-i)b + c) $，对带标签根树的 Cayley 公式进行了细化，该多项式用于按适当顶点数（即小于其所有真后代的顶点）枚举森林与树。关键贡献在于建立了一个统一框架，将该多项式与各类树型的钩长公式联系起来，并通过停车函数（parking functions）提出新颖的解释，特别是 $c$-停车函数中‘幸运汽车’的数量计数。

ABSTRACT

A proper vertex of a rooted tree with totally ordered vertices is a vertex that is less than all its proper descendants. We count several kinds of labeled rooted trees and forests by the number of proper vertices. Our results are all expressed in terms of the polynomials P_n(a,b,c)= c(a+(n-1)b+c)(2a+(n-2)b+c)...((n-1)a+b+c) which reduce to (n+1)^{n-1} for a=b=c=1. Our study of proper vertices was motivated by A. Postnikov's hook length formula for binary trees (arXiv:math.CO/0507163), which was also proved by W. Y. C. Chen and L. L. M. Yang (arXiv:math.CO/0507163) and generalized by R. R. X. Du and F. Liu (arXiv:math.CO/0501147). Our approach gives a new proof of Du and Liu's results and gives new hook length formulas. We also find an interpretation of the polynomials P_n(a,b,c) in terms of parking functions: we count parking functions according to the number of cars that park in their preferred parking spaces.

研究动机与目标

• 通过按适当顶点数（即小于其所有真后代的顶点）对带标签根森林与树进行计数，进一步完善 Cayley 公式。
• 将 Postnikov 针对二叉树的钩长公式推广至其他树型，如 $k$-叉树与有序森林。
• 建立多项式 $P_n(a,b,c)$ 与停车函数之间的联系，特别是通过 $c$-停车函数中‘幸运汽车’的数量。
• 通过生成函数与微分方程，将多种组合结构统一于单一多项式框架之下。

提出的方法

• 引入多项式 $ P_n(a,b,c) = c\prod_{i=1}^{n-1}(ia + (n-i)b + c) $，当 $ a=b=c=1 $ 时退化为 $ (n+1)^{n-1} $，并利用其对森林按树的数量与适当顶点数进行枚举。
• 应用引理 2.1 与引理 2.2，通过标记方式将钩长与适当顶点数关联，证明具有特定集合 $ S $ 中适当顶点的标记方式数量为 $ \frac{n!}{\prod_{v\in S} h(v)} $。
• 使用指数生成函数与微分方程推导出按‘幸运汽车’加权的停车函数的生成函数 $ Q $，其满足 $ Q' = uQ^2 + xQ'Q $。
• 建立 $c$-停车函数与 $c$ 个普通停车函数分解之间的双射，从而得出 $c$-停车函数的生成函数为 $ Q^c $。
• 应用‘素停车函数’（prime parking functions）的概念，推导出生成函数 $ R = 1 - Q^{-1} $，并将其与 $ P_n(1,u,-u) $ 联系起来。
• 通过微分方程与生成函数技术，证明对于普通停车函数，有 $ \sum_f u^{\text{lucky}(f)} = P_n(1,u,u) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对 Cayley 公式进行细化，使其不仅能按大小计数带标签根森林，还能按适当顶点数计数？
• RQ2 能否为 $k$-叉树与有序树森林等树型，推导出类似于 Postnikov 恒等式的钩长公式？
• RQ3 多项式 $ P_n(a,b,c) $ 在停车函数与‘幸运汽车’的组合解释中具有何种意义？
• RQ4 尽管定义相似，树中适当顶点与适当边的分布为何不同？
• RQ5 指数生成函数与微分方程在刻画按‘幸运汽车’计数的停车函数生成函数中起到何种作用？

主要发现

• 多项式 $ P_n(a,b,c) $ 按树的数量与适当顶点数枚举了带标签根树的森林，推广了 Cayley 公式。
• 当 $ a=b=c=1 $ 时，$ P_n(1,1,1) = (n+1)^{n-1} $，恢复了 $ n $ 个顶点上带标签根树森林的数量。
• 按‘幸运汽车’加权的停车函数的生成函数 $ Q $ 满足 $ Q' = uQ^2 + xQ'Q $，由此推出普通停车函数中 $ \sum_f u^{\text{lucky}(f)} = P_n(1,u,u) $。
• 对于 $c$-停车函数，‘幸运汽车’的生成函数为 $ Q^c $，从而得到 $ \sum_f u^{\text{lucky}(f)} = P_n(1,u,cu) $。
• 素停车函数（即无法分解为更小停车函数的）满足 $ \sum_f u^{\text{lucky}(f)} = -P_n(1,u,-u) $，将其与生成函数的逆联系起来。
• 多项式 $ P_n(a,b,c) $ 通过单一参数族，为 $k$-叉树与有序森林等各类树型提供了统一的钩长公式框架。