[论文解读] A Refinement of Shor's Algorithm

D. S. McAnally|ArXiv.org|Dec 9, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 12

一句话总结

该论文通过将第一个寄存器中的量子比特数量提高约1.5倍，对Shor算法进行了优化，使得每次量子计算运行都能以近乎确定的概率获得阶的一个因数。该方法通过累积多次运行的结果，将期望运行次数减少至O(1)，在≤2次运行内成功概率超过60%，在≤4次运行内成功概率超过90%，显著提升了原始Shor算法的效率。

ABSTRACT

A refinement of Shor's Algorithm for determining order is introduced, which determines a divisor of the order after any one run of a quantum computer with almost absolute certainty. The information garnered from each run is accumulated to determine the order, and for any k greater than 1, there is a guaranteed minimum positive probability that the order will be determined after at most k runs. The probability of determination of the order after at most k runs exponentially approaches a value negligibly less than one, so that the accumulated information determines the order with almost absolute certainty. The probability of determining the order after at most two runs is more than 60%, and the probability of determining the order after at most four runs is more than 90%.

研究动机与目标

• 提高Shor量子阶查找算法每次运行的成功概率。
• 减少确定模n下x的阶所需的量子计算机运行次数的期望值。
• 确保每次运行都能以可忽略不计小于1的概率获得阶的因数。
• 提供一种概率框架，保证在少量且有界的运行次数后，累积成功概率极高。

提出的方法

• 将第一个寄存器中的量子比特数量提高约1.5倍，以增强量子傅里叶变换（QFT）的分辨率。
• 在ℤ/qℤ上引入模度量ρq，定义一种循环不变的距离概念，用于分析测量结果。
• 使用经典后处理方法（连分数法）从测量值中提取阶的信息。
• 累积多次运行的结果，将每次运行的输出视为真实阶的因数，概率极高。
• 使用独立的随机变量建模结果的概率分布，这些随机变量代表阶的素因子幂。
• 应用容斥原理和黎曼ζ函数的界，推导出在k次运行后成功概率的渐近下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shor算法每次运行的成功概率能否提高到近乎确定，使得每次运行都能可靠地获得阶的因数？
• RQ2 在每次运行仅提供部分信息的前提下，确定阶所需的最少量子运行次数是多少？
• RQ3 增加量子比特数量如何影响测量结果的概率分布以及累积结果的收敛性？
• RQ4 能否使用数论和概率工具，对在最多k次运行后确定阶的概率进行下界估计？
• RQ5 随着运行次数的增加，成功概率的渐近行为如何？与理想情况相比有何差异？

主要发现

• 在最多两次运行后，确定阶的概率大于60%。
• 在最多四次运行后，确定阶的概率超过90%。
• 在k次运行后的成功概率有下界：1/ζ(k) − O(n^−ε)，随着k增加趋近于1。
• 由于增加了量子比特数量和优化的QFT分辨率，该方法保证每次运行以可忽略不计小于1的概率获得阶的因数。
• 在理想量子计算机性能和足够量子比特扩展的前提下，所需量子运行次数减少至O(1)。
• 成功概率的下界通过黎曼ζ函数的性质以及阶的素因子幂上的容斥原理推导得出。