[论文解读] A regularity criterion for the solution of the nematic liquid crystal flows in terms of $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-norm

Qiao Liu, Jihong Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过证明：若 $(u, \nabla d)$ 或 $\nabla d$ 的 $\hat{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-范数在时间上保持足够小，则 nematic 液晶流系统解保持光滑，从而在二维和三维情形下建立了该系统的正则性准则。该结果通过使用临界 Besov 空间范数，扩展了对液晶流体动力学模型中爆破抑制机制的理解。

ABSTRACT

In this paper, we investigate regularity criterion for the solution of the nematic liquid crystal flows in dimension three and two. We prove the solution $(u,d)$ is smooth up to time $T$ provided that there exists a positive constant $\varepsilon_{0}>0$ such that (i) for n=3, |(u, abla d)|_{L^{\infty}(0,T;\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})}\leq \varepsilon_{0}, and (ii) for $n=2$, | abla d|_{L^{\infty}(0,T;\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})}\leq \varepsilon_{0}.

研究动机与目标

• 在二维和三维空间中建立 nematic 液晶流系统正则性准则。
• 确定解 $(u, d)$ 在给定时间 $T$ 前保持光滑的条件。
• 分析速度与取向场梯度的 $\hat{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-范数在防止有限时间爆破中的作用。
• 通过使用临界 Besov 空间范数，扩展现有正则性结果，该范数在 Lorentz 空间与端点空间尺度下为最优。

提出的方法

• 作者采用 nematic 液晶流的简化 Ericksen–Leslie 模型，将不可压缩的 Navier–Stokes 方程与取向场的调和映射热流方程耦合。
• 在 Besov 空间框架下应用能量估计与抛物正则性技术，特别关注 $\hat{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-范数。
• 证明依赖于对 $u$ 和 $d$ 应用 $\Lambda^k$-算子的高阶能量估计，随后在 $\mathbb{R}^n$ 中进行插值与 Sobolev 嵌入。
• 关键步骤包括在 $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$ 空间中利用 Hölder 不等式、Young 不等式以及交换子估计来控制非线性项。
• 分析区分了二维与三维情形，正则性所需的微小条件不同。
• 论证利用能量等式与 $L^\infty(0,T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})$ 中的一致有界性，以控制高阶范数的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维情形下，$(u, \nabla d)$ 或 $\nabla d$ 的 $\hat{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-范数满足何种条件时，nematic 液晶系统解 $(u,d)$ 保持光滑？
• RQ2 在二维情形下，仅 $\nabla d$ 的 $\hat{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-范数微小是否足以保证正则性？
• RQ3 为何选择临界 Besov 空间 $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$ 能够改进以往对液晶流正则性准则的结果？
• RQ4 Navier–Stokes 方程与调和映射热流方程之间的耦合在解的正则性中起到何种作用？
• RQ5 在正则性理论中，$\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$ 中的微小性条件在多大程度上可替代更强的 $L^p$-型微小假设？

主要发现

• 在三维情形下，若存在足够小的 $\varepsilon_0 > 0$，使得 $\|(u, \nabla d)\|_{L^\infty(0,T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})} \leq \varepsilon_0$，则解 $(u,d)$ 在时间 $T$ 前保持光滑。
• 在二维情形下，若 $\|\nabla d\|_{L^\infty(0,T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})} \leq \varepsilon_0$，则解保持光滑至时间 $T$。
• 作者证明了解在 $L^\infty(0,T; H^2) \times L^\infty(0,T; H^3)$ 与 $L^2(0,T; H^3) \times L^2(0,T; H^4)$ 中有界，表明具有高度正则性。
• 证明建立了 $\|\Lambda^2 u\|_{L^2}$ 与 $\|\Lambda^3 d\|_{L^2}$ 的一致有界性，总能量与高阶范数由初始数据与常数 $C_0$ 控制。
• 该结果在意义下是精确的，因为 $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-范数是 Navier–Stokes 与调和映射流系统的临界空间。
• 分析确认，即使在基于 $L^p$ 的准则失效时，$\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-范数的微小性仍足以防止爆破。